Estoy tratando de hacer una serie de ejercicios de Spivak del Cálculo, en el capítulo 8, Menos Límites Superior.
Estoy tratando de hacer frente a estos dos ejercicios, $5.$ e $^*.6$
De $5.$ he probado la primera reclamación
$(a)$ Deje $x-y>1$. Probar que existe un número entero $k$ tal que $x<k<y$.
P Vamos a $\ell$ ser el mayor entero tal que $\ell \leq x$. Entonces
$$y-x >1$$
$$y-\ell >1$$
$$y>1+\ell $$
Por lo tanto, el número entero $\ell +1$ entre $y$ e $x \text{ }\blacktriangle$.
$(b)$ Deje $x<y$. Demostrar que existe un racional $r$ tal que $x<r<y$.
P Si $x<y$ entonces no es $\epsilon>0$ tal que $x+\epsilon=y$. Por lo tanto $\epsilon=y-x$. Pero a partir de T3, tenemos que hay un $n$ tal que $1/n < \epsilon$, lo que
$$\frac{1}{n} < y-x$$
$$1<ny-nx \text{ }\blacktriangle$$
y desde el último teorema tenemos que existe un entero $k$ tal que
$$nx<k<ny$$
$$x< \frac{k}{n}<y \text{ }\blacktriangle$$
$(c)$ Deje $r<s$ ser números racionales. Probar que existe un número irracional entre el $r$ e $s$. Sugerencia: es conocido que hay un número irracional entre el $0$ e $1$.
Ok, esto es una prueba basada en sus respuestas.
P Desde $\sqrt 3 $ es irracional y $\sqrt{3}<3$,, a continuación, $\ell = \sqrt{3}/3<1$ y por lo tanto es en $[0,1]$.
Ahora, $r<s \Rightarrow 0<s-r$. Entonces
$$0<\ell < 1$$
$$0<\ell(s-r) < s-r$$
$$r<r+\ell(s-r) < s$$
Y desde $\ell$ es irracional $r+\ell(s-r)$ es irracional. $\blacktriangle $
$(d)$ Mostrar que si $x<y$, entonces no es un número irracional entre el $x$ e $y$: no Hay necesidad de trabajar aquí, esto es consecuencia de $(b)$ e $(c)$
Este es bastante sencillo, pero gracias de todos modos.
P
$$x<y$$
$$(b)\Rightarrow x<r<y,r<y \Rightarrow r<q<y \Rightarrow x<r<q<y$$
Entonces por $(c)$, hay un irracional $\ell$ tal que
$$ x<r<\ell<q<y \text{ } \blacktriangle $$
Esto me permite concluir
$\mathbb Q$ es denso en ninguna $[a,b]\subset \Bbb R$
$\mathbb I$ es denso en ninguna $[a,b] \subset \Bbb R $
y me deja pasar en $^*6.$ que es
$(a)$ Muestran que $f$ es continua y $f(x)=0$ para todos los $x$ en un denso conjunto de $A$,, a continuación, $f$ es $f(x)=0$ para todos los $x$.
$(b)$ Muestran que $f$ e $g$ son continuos y $f(x)=g(x)$ para todos los $x$ en un denso conjunto de $A$,, a continuación, $f(x)=g(x)$ para todos los $x$.
$(c)$ Si suponemos $f(x)\geq g(x)$ para todos los $x$ en $A$,, a continuación, $f(x)\geq g(x)$ para todos los $x$. ¿Puede $\geq$ ser sustituido con $>$ en todas partes?
No estoy pidiendo soluciones para esta última problemas (a la que se pedirá por separado), pero para $(c)$ e $(d)$ en $5.$
El capítulo tiene varias importantes pruebas, que podría o no ser relevante aquí, pero creo que es importante que usted sepa qué herramientas tenemos a la mano:
TEOREMA de 7-1 Si $f$ es continua en $[a,b]$ e $f(a)<0<f(b)$, entonces no es $x \in [a,b]:f(x)=0$
TEOREMA 1 Si $f$ es continua en $a$, entonces existe un $\delta>0$ tal que $f$ está delimitado por encima de en $(a-\delta,a+\delta)$.
TEOREMA de 7-2 Si $f$ es continua en $[a,b]$ entonces $f$ está delimitada en $[a,b]$.
TEOREMA de 7-3 Si $f$ es continua en $[a,b]$, entonces hay un $y$ en $[a,b]$ tal que $f(y)\geq f(x)$ para todos los $x$ en $[a,b]$.
TEOREMA 2 $\Bbb N$ no está delimitado por encima.
TEOREMA 3 Si $\epsilon >0$, hay un $n \in \Bbb N$ tal que $1/n < \epsilon$.
