Densidad de un conjunto. Ejercicio de Spivak.

Question

Estoy tratando de hacer una serie de ejercicios de Spivak del Cálculo, en el capítulo 8, Menos Límites Superior.

Estoy tratando de hacer frente a estos dos ejercicios, $5.$ e $^*.6$

De $5.$ he probado la primera reclamación

$(a)$ Deje $x-y>1$. Probar que existe un número entero $k$ tal que $x<k<y$.

P Vamos a $\ell$ ser el mayor entero tal que $\ell \leq x$. Entonces

$$y-x >1$$

$$y-\ell >1$$

$$y>1+\ell$$

Por lo tanto, el número entero $\ell +1$ entre $y$ e $x \text{ }\blacktriangle$.

$(b)$ Deje $x<y$. Demostrar que existe un racional $r$ tal que $x<r<y$.

P Si $x<y$ entonces no es $\epsilon>0$ tal que $x+\epsilon=y$. Por lo tanto $\epsilon=y-x$. Pero a partir de T3, tenemos que hay un $n$ tal que $1/n < \epsilon$, lo que

$$\frac{1}{n} < y-x$$

$$1<ny-nx \text{ }\blacktriangle$$

y desde el último teorema tenemos que existe un entero $k$ tal que

$$nx<k<ny$$

$$x< \frac{k}{n}<y \text{ }\blacktriangle$$

$(c)$ Deje $r<s$ ser números racionales. Probar que existe un número irracional entre el $r$ e $s$. Sugerencia: es conocido que hay un número irracional entre el $0$ e $1$.

Ok, esto es una prueba basada en sus respuestas.

P Desde $\sqrt 3$ es irracional y $\sqrt{3}<3$,, a continuación, $\ell = \sqrt{3}/3<1$ y por lo tanto es en $[0,1]$.

Ahora, $r<s \Rightarrow 0<s-r$. Entonces

$$0<\ell < 1$$

$$0<\ell(s-r) < s-r$$

$$r<r+\ell(s-r) < s$$

Y desde $\ell$ es irracional $r+\ell(s-r)$ es irracional. $\blacktriangle$

$(d)$ Mostrar que si $x<y$, entonces no es un número irracional entre el $x$ e $y$: no Hay necesidad de trabajar aquí, esto es consecuencia de $(b)$ e $(c)$

Este es bastante sencillo, pero gracias de todos modos.

P

$$x<y$$

$$(b)\Rightarrow x<r<y,r<y \Rightarrow r<q<y \Rightarrow x<r<q<y$$

Entonces por $(c)$, hay un irracional $\ell$ tal que

$$x<r<\ell<q<y \text{ } \blacktriangle$$

Esto me permite concluir

• $\mathbb Q$ es denso en ninguna $[a,b]\subset \Bbb R$

• $\mathbb I$ es denso en ninguna $[a,b] \subset \Bbb R$

y me deja pasar en $^*6.$ que es

$(a)$ Muestran que $f$ es continua y $f(x)=0$ para todos los $x$ en un denso conjunto de $A$,, a continuación, $f$ es $f(x)=0$ para todos los $x$.

$(b)$ Muestran que $f$ e $g$ son continuos y $f(x)=g(x)$ para todos los $x$ en un denso conjunto de $A$,, a continuación, $f(x)=g(x)$ para todos los $x$.

$(c)$ Si suponemos $f(x)\geq g(x)$ para todos los $x$ en $A$,, a continuación, $f(x)\geq g(x)$ para todos los $x$. ¿Puede $\geq$ ser sustituido con $>$ en todas partes?

No estoy pidiendo soluciones para esta última problemas (a la que se pedirá por separado), pero para $(c)$ e $(d)$ en $5.$

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El capítulo tiene varias importantes pruebas, que podría o no ser relevante aquí, pero creo que es importante que usted sepa qué herramientas tenemos a la mano:

TEOREMA de 7-1 Si $f$ es continua en $[a,b]$ e $f(a)<0<f(b)$, entonces no es $x \in [a,b]:f(x)=0$

TEOREMA 1 Si $f$ es continua en $a$, entonces existe un $\delta>0$ tal que $f$ está delimitado por encima de en $(a-\delta,a+\delta)$.

TEOREMA de 7-2 Si $f$ es continua en $[a,b]$ entonces $f$ está delimitada en $[a,b]$.

TEOREMA de 7-3 Si $f$ es continua en $[a,b]$, entonces hay un $y$ en $[a,b]$ tal que $f(y)\geq f(x)$ para todos los $x$ en $[a,b]$.

TEOREMA 2 $\Bbb N$ no está delimitado por encima.

TEOREMA 3 Si $\epsilon >0$, hay un $n \in \Bbb N$ tal que $1/n < \epsilon$.

Answer 1

CONSEJO ADICIONAL: La sugerencia solo le permite asumir la existencia de un número irracional en$(0,1)$; Usted no puede asumir nada acerca de dónde se encuentra en el intervalo. Además de expandir o contraer el intervalo de unidades, querrá traducirlo hacia la izquierda o hacia la derecha en una cantidad razonable.

Answer 2

Para una prueba de la parte c: Sea$a\in [0,1]$ ser irracional. Dejar $b=r+a(s-r)$. Primero,$b\in(r,s)$, desde$b=(1-a)r+as$ (una combinación lineal convexa de dos números). En segundo lugar,$b$ es irracional, ya que se multiplica por un número racional y se suma a un número racional.

Answer 3

Para la parte$(d)$:

$x<y$, luego por parte$(b)$ hay un número racional$r$ tal que$x<r<y$, y usándolo una vez más para$r,y$, hay un número racional $s$ tal que$r<s<y$. En total, dice que si$x<y$ hay números racionales$r,s$, de manera que$$x<r<s<y.

Ahora use la parte$(c)$ para concluir que hay un número irracional entre$r,s$ y por lo tanto entre$x,y$.