¿Es $f(x)=\sum_{k\in\mathbb N}\frac1k\sin\frac x{2^k}$ acotado?

Question

$$f(x)=\sum_{k\in\mathbb N}\frac1k\sin\frac x{2^k}$$¿Está acotada esta función?

Así que obviamente esto converge porque $|\frac1k\sin\frac x{2^k}|<|\frac x{2^k}|$ y $\sum\frac x{2^k}$ converge por el test de integral.

Ahora necesito mostrar que existe un $N$ para todo $y\in\text{rango}\,f$ tal que $|y|

Así que pienso:

Sea $a_k=\frac1k$ y $b_k=\sin\frac x{2^k}$. De la desigualdad de Schwarz obtenemos $|\sum a_kb_k|\leq\sqrt{\sum|a_k|^2\sum|b_k|^2}$. Dado que $a_k>0$ para todo $k$ tenemos $a_k=|a_k|$ y así $|a_k|^2=\frac1{k^2}$. $\sum\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}6$ por la Zeta de Riemann. Ahora solo nos queda demostrar que $\sum|b_k|^2$ también está acotada.

Answer 1

La función es no acotada. De hecho, toma $x_m = \frac{2^{3m}}7 2\pi$; entonces la secuencia $f(x_m)$ tiende a infinito. Para ver esto, observe que $$ \sin\Big( \frac n72\pi \Big) \approx \begin{cases} 0.781831, &\text{si }n\equiv1\pmod 7, \\ 0.974928, &\text{si }n\equiv2\pmod 7, \\ -0.433884, &\text{si }n\equiv4\pmod 7. \end{cases} $$ Por lo tanto \begin{align*} f(x_m) &= \sum_{j=1}^m \bigg( \frac1{3j-2}\sin\Big(\frac{2^{3m-(3j-2)}}7 2\pi\Big) + \frac1{3j-1}\sin\Big(\frac{2^{3m-(3j-1)}}7 2\pi\Big) + \frac1{3j}\sin\Big(\frac{2^{3m-3j}}7 2\pi\Big) \bigg) \\ &\qquad{}+ \sum_{k=3m+1}^\infty \frac1k\sin\Big( \frac\pi{7\cdot 2^{k-3m-1}} \Big) \\ &\approx \sum_{j=1}^m \bigg( \frac{0.974928}{3j-2} - \frac{0.433884}{3j-1} + \frac{0.781831}{3j} \bigg) + \sum_{k=3m+1}^\infty \frac1k\sin\Big( \frac\pi{7\cdot 2^{k-3m-1}} \Big) \\ &> \sum_{j=1}^m \frac{0.44}j + \sum_{k=3m+1}^\infty 0 > 0.44 \ln m. \end{align*}

Answer 2

Tenga en cuenta que para $x\in[0,2\pi]$ $$ \left\lvert\,\sin\frac x{2^k}\right\rvert\le \frac{\lvert x\rvert}{2^k}\le \frac{2\pi}{2^k}, $$ y por lo tanto $$\lvert\, f(x)\rvert\le \sum_{k\in\mathbb N}\left|\frac1k\sin\frac x{2^k}\right|\le \sum_{k=1}^\infty \frac{2\pi}{k2^k}<2\pi. $$