Resolución de ecuaciones matriciales de la forma$XA = XB$

Question

Estoy tratando de resolver la ecuación de matriz de la forma $XA = XB$. $A$, $B$ y la solución buscada $X$ se $4 \times 4$ homegeneous matrices que se compone de una matriz de rotación y el vector de translación, como en $$ \begin{bmatrix} r_1 & r_2 & r_3 & tx\\ r_4 & r_5 & r_6 &ty\\ r_7 & r_8 & r_9 & tz\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$ Hay varios métodos para resolver ecuaciones del tipo AX = XB. Este tipo de ecuaciones se producen en campos como la robótica, para lo cual se han propuesto soluciones como la Tsai y Lenz método [IEEE 1987], por ejemplo. 1) siento que la resolución de la ecuación XA = XB no es la misma que la resolución de la conocida forma AX = XB. Estoy en lo cierto? 2) Tampoco puede ser resuelto, como la ecuación de Sylvester, porque incluso que requiere de $AX + XB = C$ formulario. Lo que tengo es $XA = XB$, un conjunto redundante de ecuaciones. Es decir,
\begin{align} A_1.X & = X.B_1 \\ A_2.X & = X.B_2 \\ & \vdots \\ A_n.X & = X.B_n \end{align}

Si estoy en lo correcto, estos podrían ser reescrito en otra forma como $AX = BX$. Debo volver a escribir la ecuación y tratar de solucionar este problema a través de cualquier otro de los métodos existentes?

Answer 1

Para$XA = XB$, resuelva$X(A-B) = 0$, básicamente las filas de$X$ pueden ser cualquier vector que esté en el espacio nulo de$(A-B)^T$.

Podemos escribir $X(A-B) = 0 \Leftrightarrow (A-B)^TX^T = 0$. Las columnas de$X^T$ son las filas de$X$. Deje que$x_i$ sea fila$i$ de$X$. La columna$i$: th del producto$(A-B)^TX^T$ es$(A-B)^Tx_i$. Para que este sea un vector cero,$x_i$ debe estar en el espacio nulo de$(A-B)^T$. Por lo tanto, todas las filas de$X$ deben estar en este espacio nulo.

EDIT: Ok, título corregido. Repensado un poco. Breve explicación añadida.