Supongamos que $f \in L^1(\mathbb{R}^n)$ , $f \ge 0$ , $\|f\|_{L^1} = 1$ . ¿Cómo puedo ver que $\sup_{\xi\in\mathbb{R}^n} |\mathcal{F}(f)(\xi)| = 1$ y se alcanza exactamente en $0$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En primer lugar, hay que tener en cuenta que tenemos $$|\mathcal{F}f(\xi)| = \left|\int_{\mathbb{R}^d} f(x)e^{-ix \cdot \xi}dx\right| \le \int_{\mathbb{R}^d} |f(x)|\,dx = 1 = \mathcal{F}f(0),$$ donde la igualdad final proviene del hecho de que $f \ge 0$ . Desde $f$ es de valor real, podemos descomponer $\mathcal{F}f(\xi)$ en sus partes real e imaginaria como $$\mathcal{F}f(\xi) = \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\cos(x \cdot \xi)\,dx - i \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\sin(x \cdot \xi)\,dx.$$ Ahora, observe que como $f(x)\cos(x \cdot \xi) \le f(x)$ la parte real de la transformada de Fourier satisface $$\text{Re}\,\mathcal{F}f(\xi) = \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\cos(x \cdot \xi)\,dx \le \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\,dx.\tag*{$ (*) $}$$ Si $\xi \neq 0$ , $\cos(x \cdot \xi) < 1$ de un conjunto de medida cero, ya que se ve fácilmente que este conjunto es una unión contable de hiperplanos ortogonales a la línea determinada por $\xi$ y así podemos tener igualdad en $(*)$ sólo si $f = 0$ casi en todas partes lejos de este conjunto. Sin embargo, esto obviamente implicaría $\|f\|_{L^1} = 0$ contradiciendo nuestra suposición, por lo que concluimos que la desigualdad en $(*)$ es estricto siempre que $\xi \neq 0$ .
Para demostrar $0$ es el único punto donde $|\mathcal{F}(f)|$ llega a $1$ , argumentamos por contradicción. Supongamos que $\xi \neq 0$ satisface $|\mathcal{F}(f)(\xi)| = 1$ . Observe que ya sabemos $\text{Re}\,\mathcal{F}f(\xi) < 1$ . $\mathcal{F}(f)$ no es un número real positivo. Por lo tanto, mediante una rotación compleja, podemos hacer que $1$ Es decir, $\mathcal{F}(f)(\xi)e^{-i\theta} = 1$ para algunos $\theta \in (0, 2\pi)$ . Sin embargo, para cualquier $\theta \in (0, 2\pi)$ , $$\text{Re}\,\mathcal{F}(f)(\xi)e^{-i\theta} = \int_{\mathbb{R}^d}f(x)\cos(x \cdot \xi + \theta)\,dx \le \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\,dx = 1.$$ Por la misma razón que antes, la desigualdad es estricta si $\xi \neq 0$ . Contradicción.
Umberto P.
Puntos
20047
Debe definir todos sus términos. Supongo que $\cal F$ es la transformada de Fourier. La fórmula estándar es la siguiente $$\cal F f(x) = \int_{\mathbb R} e^{-2\pi i x y} f(y) \, dy.$$ Desde $2\pi i x y$ es puramente imaginario o cero, $|e^{-2\pi i xy}| = 1$ . Aplique la desigualdad del triángulo para obtener $$|\cal F f(x)| \le \int_{\mathbb R} |e^{-2\pi i x y} f(y)| \, dy = \int_{\mathbb R} |f(y)| \, dy = 1$$ para cualquier $x$ . Desde $e^{0} = 1$ además se obtiene $$\cal F f(0) = \int_{\mathbb R} f(y) \, dy = \int_{\mathbb R} |f(y)| \, dy = 1$$ desde $f \ge 0$ .
