$f$ parcial continuo$\Rightarrow$$f$ continuo?

Question

$\newcommand\R{\mathbb{R}}$ Vamos $f\colon \R^n \to \R^m$. $f$ es parcial continua en $x=(x_1,\ldots,x_n)\in \R^n$ fib $f_k\colon\R \to \R^m, x' \mapsto f(x_1,\ldots,x_{k-1},x',x_{k+1}\ldots,x_n)$ es continua para todos los $1 \le k \le n$. Mi pregunta: Si $f$ es parcial continua en todos los $x \in \R^n$, ¿esto implica la continuidad de la $f$?

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Información adicional: El inverso es claro para mí. También puedo construir un $f$ que es parcial es continua en un punto específico (pero no cada punto), pero no es continua en este punto (tome $$f\colon \R^2\to \R,\quad f(x_1,x_2) = \begin{cases}0 & \text{if $x_1x_2=0$}\\1 & \text{otherwise}\end{cases}$$ and $x=(0,0)$). Así que me pregunto si existe un contraejemplo para el "mundial" caso descrito anteriormente.

Answer 1

$\newcommand\R{\mathbb{R}}$ @Chappers proporcionó un enlace a un contraejemplo. Permitir que$f\colon \R^2 \to \R$ por$$f(x_1,x_2) = \frac{x_1x_2}{x_1^2+x_2^2}$$ and $ x = (0,0)$. $ f$ is obviously partial continuous in every point (just fix $ x_1$ or $ x_2$). But let $ (a_k) _ {k \ ge0}$ via $ a_k = \ left (\ frac {\ sin (k)} k, \ frac {\ cos (k)} k \ right)$. Then $$\lim\limits_{k\to\infty} a_k = (0,0) = x,$ $ but $$\lim\limits_{k\to \infty} f(a_k) = \lim\limits_{k\to \infty}\sin(k)\cos(k) = \lim\limits_{k\to \infty} \frac12\sin(2k)$$ does not exist, so $ f $ no es continuo. Así que la respuesta a mi pregunta es "incorrecta".