Mostrando que $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \geq \log{n}$

Question

He estado tratando de demostrar esto por inducción en$n\in \mathbb{N}$, pero este enfoque no parece llevarme a ninguna parte. Tengo la sospecha de que podría ser necesario expresar$\log{n}$ como$\int_1^n 1/x\text{ }dx$, pero no podría construir un argumento riguroso a partir de eso.

Cualquier ayuda muy apreciada!

Answer 1

$$e^{H_n}=e^{1/1}e^{1/2}\cdots e^{1/n}\color{Red}{\gt}\left(1+\frac 11\right)\left(1+\frac 12\right)\cdots\left(1+\frac 1n\right)=n+1\gt n$$ $$\color{Red}{e^x\gt1+x}\tag{$ x \ gt0$}$ $

Answer 2

Sugerencia: La suma de la derecha es equivalente a un LRAM aproximación con $\Delta x = 1$ de % de$\int_1^n \frac{1}{x} dx$. Desde $\frac{1}{x}$ está disminuyendo, LRAM sobre-estimaciones.

Si usted no lo sabe, LRAM = Izquierda del Rectángulo Método de Aproximación. Para estimar el área de una función de $f(x)$ de $1$ a $n$ con $\Delta x = c$, nos encontramos con $c(f(1) + f(1+c) + f(1+2c) + \dots + f(n-c))$

He aquí un práctico visual, tomado de la página de wikipedia para el de Euler-Mascheroni constante

(¿Cómo puedo incorporar directamente en mi post?)