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Demostrar que una función es indefinidamente diferenciable

Demuestre que si $$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ es diferenciable en segundo orden que satisface la ecuación $$f'' =f'+f$$ entonces $f$ es indefinidamente diferenciable.

Estaba pensando en escribir el $n$ la derivada como $$f^{(n)}=a_nf+b_nf', a_n=b_{n-1}, b_n=a_{n-1}+b_{n-1} $$ He calculado algunas derivadas por lo que creo que esta debe ser la forma de la secuencia, pero no sé cómo resolverla y no veo ningún otro patrón para escribir el término general.

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SUMIT MITRA Puntos 16

Depuis $f$ es dos veces diferenciable, $f''=f'+f$ es la suma de dos funciones diferenciables, por lo que $f'''$ existe y es igual a $f'''=f''+f'$ . Por inducción se puede demostrar ahora que es infinitamente diferenciable, ya que $f^{(n)}=f^{(n-1)}+f^{(n-2)}$ , lo que implica que $f^{(n+1)}$ existe.

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¿Podemos simplemente despreciar los coeficientes de f y f'?

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@Andrei ¿De qué coeficientes hablas?

6 votos

@Andrei Veo lo que intentas hacer, pero le das demasiadas vueltas al problema. $$\dfrac{d}{dx}f'' = \dfrac{d}{dx}(f'+f)$$ Entonces $$f''' = f''+f'$$ No es necesario entonces convertir $f''$ en $f'+f$ . Se puede aplicar inmediatamente la inducción. Este es el caso base.

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InterstellarProbe Puntos 361

Querías saber la forma general de $f^{(n)}$ en términos de $f$ y $f'$ . La solución que ha aportado Alex R. es la correcta. Pero, si sólo quiere ver la forma en que el $n$ -La derivada de la primera toma (en términos de $f$ y $f'$ ), lo tienes:

$$f^{(n)} = a_nf' + b_nf$$

Toma las derivadas de ambos lados:

$$f^{(n+1)} = a_nf''+b_nf' = a_n(f'+f)+b_nf' = (a_n+b_n)f' + a_nf$$

De esto, obtenemos:

$$b_{n+1} = a_n$$

$$a_{n+1} = a_n+b_n$$

Así que tenemos:

$$a_{n+2} = a_{n+1}+b_{n+1} = a_{n+1}+a_n$$

Esta es la relación de recurrencia de Fibonacci. A partir de esto, obtenemos:

$$f^{(n)} = F_{n+1}f'+F_nf, n\ge 0$$

donde $$F_0=1, F_1=0$$ y $$F_{n+2} = F_{n+1}+F_n, n\ge 0$$ es la secuencia de Fibonacci.

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Un enfoque muy interesante para adquirir información adicional

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user209663 Puntos 58

Otra forma (diferente) de ver esto es pensar en ello como una EDO: $$ \frac{d^2 f}{dx^2} - \frac{df}{dx} - f = 0 $$ Esta es una EDO bastante simple que tiene la solución de: $$ f(x) = a_1 e^{\frac{\sqrt{5} + 1 }{2}x } + a_2e^{-\frac{\sqrt{5} + 1 }{2}x } $$ Donde $a_1$ y $a_2$ son algunas constantes. Como sabemos que las funciones exponenciales son infinitamente diferenciables, esto implica que $f(x)$ es infinitamente diferenciable ya que es sólo combinación lineal de funciones exponenciales.

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