Dual de un cono doble

Question

Cualquier sugerencia sobre cómo probar el siguiente por favor:

Que $K$ ser un cono convexo y $K^*$ su doble cono. Demostrar que $K^{**}$ es el cierre de $K$.

¡ Gracias!

Answer 1

Descargo de responsabilidad. Si usted está interesado sólo en el caso de $X = \mathbb{R}^n$ luego ignorar todos los comentarios sobre topologías débiles, ya que coincidirá con la costumbre de la topología Euclidiana sobre $\mathbb{R}^n$. [La topología en $X$ va a ser siempre el débil topología $\sigma(X,X^{\ast})$ y la topología en $X^{\ast}$ va a ser siempre el débil* topología $\sigma(X^{\ast},X)$.]

Supongamos que $K$ es un cono convexo en un localmente convexo real espacio vectorial $X$. Recordemos que esto significa, simplemente, que $K$ no está vacío y que para $k,k' \in K$ tenemos $k+k' \in K$ $k \in K$ $\alpha \gt 0$ tenemos $\alpha k \in K$.

1. El doble cono de un no-vacío subconjunto $K \subset X$ $$K^{\circ} = \{f \in X^{\ast}\,:\,f(k) \geq 0 \text{ for all }k \in K\} \subset X^{\ast}.$$ Tenga en cuenta que $K^{\circ}$ es un cono convexo como $0 \in K^{\circ}$ y que es cerrado [en la débil* topología $\sigma(X^{\ast},X)$].

2. Si $C \subset X^{\ast}$ no está vacía, su predual de cono $C_{\circ}$ es el cono convexo $$C_{\circ} = \{x \in X\,:\,f(x) \geq 0 \text{ for all } f \in C\} \subset X,$$ and it is closed [in the weak topology $\sigma(X,X^{\ast})$].

3. Es una tautología que $K \subset (K^{\circ})_{\circ}$: si $k \in K$ $f(k) \geq 0$ todos los $f \in K^{\circ}$, por lo tanto $k \in (K^{\circ})_{\circ}$.

Si $K \subset X^\ast$ es un cono convexo luego de su cierre $\overline{K}$ es cerrado y convexo de cono, por lo tanto $\overline{K} \subset (K^{\circ})_\circ$. Nuestro objetivo es demostrar que $\overline{K} = (K^{\circ})_\circ$.

Recordar la siguiente forma de Hahn-Banach separación teorema:

Deje $X$ ser un Hausdorff localmente convexo real de espacio vectorial. Deje $A,B \subset X$ ser distinto, cerrado y conjuntos convexos. Si $A$ es compacto, entonces existe una funcional lineal continua $f \in X^\ast$ y constantes $r \lt s$ tal que $f(a) \lt r \lt s \lt f(b)$ todos los $a \in A$$b \in B$.

Supongamos que $x \notin \overline{K}$. Queremos mostrar que $x \notin (K^\circ)_\circ$. La separación teorema aplicado a $A = \{x\}$ $B = \overline{K}$ nos da un continuo lineal funcional $f$ tal que $f(x) \lt M = \inf{\{f(k)\,:\,k \in \overline{K}\}}$.

Desde $0 \in \overline{K}$ tenemos $M \leq 0 = f(0)$, y, en particular,$f(x) \lt 0$. Si tuviéramos $M \lt 0$ no sería $k \in \overline{K}$ tal que $f(k) \lt 0$. Pero luego, tomando a $\alpha = \frac{2f(x)}{f(k)} \gt 0$, $\alpha k \in \overline{K}$ y, al mismo tiempo, tendríamos $f(\alpha k) = 2f(x) \lt f(x) \lt 0$ contrario a la suposición sobre la $f$. Por lo tanto, $M = 0$ e lo $f(k) \geq 0$ todos los $k \in \overline{K}$. En particular,$f \in K^{\circ}$. Pero como $f(x) \lt 0$ tenemos que $x \notin (K^{\circ})_\circ$.

Por lo tanto $x \notin \overline{K}$ implica $x \notin (K^{\circ})_{\circ}$, lo $(K^\circ)_\circ \subset \overline{K}$.

Answer 2

En primer lugar, está claro que $K \subset K^{**}$. En segundo lugar, claramente $K^{**}$ es un cono convexo. En tercer lugar, demostrar que si $C \supset K$ es un cono convexo, entonces $C \supset K^{**}$ (sugerencia: use el teorema de hiperplano de separación). La conclusión de que $K^{**}$ es la intersección de todos los conos convexos que contienen $K$, por lo que en tu caso es el cierre de $K$.