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¿Es posible encontrar el enésimo término y la suma finita para una secuencia recursiva con caso involucrado

Di:

\begin{gather} a_1 = 55 \\ \\ a_{n + 1} = \begin{cases} r_a a_n + C, & \text{if $n$ mod 12 is 6,7,8} \\[2ex] r_b a_n+C, & \text{otherwise} \end{cases} \end{gather}

donde:

  • $C$ es una constante.

  • $0<r_a<1$

  • $0<r_b<1$

Es matemáticamente posible encontrar

  1. enésimo término
  2. suma finita

He mirado las secuencias geométricas, el enésimo término y la suma finita ( aquí ), y la técnica de resolución ( aquí ). Pero como tiene un caso involucrado, no soy capaz de encontrar una solución utilizando esos enfoques.

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Si $t_{n,k}$ es el número de enteros de $k$ a $n$ inclusive que son $6,7$ o $8 \mod 12$ entonces $a_n=55r_a^{t_{n-1,1}}r_b^{n-1-t_{n-1,1}}+C\sum_{k=2}^{n-1}r_a^{t_{n-1,k}}r_b^{n-k-t_{n-1,k}}$ .

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vadim123 Puntos 54128

Estrategia: iterar la recursión doce veces, lo que elimina los casos. Para ahorrar en el tecleo, puse $r=r_a, s=r_b$ .

Proporcionado $n\equiv 1\pmod{12}$ tenemos $$a_{n+12}=r(r(r(r(s(s(s(r(r(r(r(ra_n+C)+C)+C)+C)+C)+C)+C)+C)+C)+C)+C)+C$$ que podemos reescribir como $$a_{n+12}=(s^3r^9)a_n + D$$ donde $$D=s^3r^8C+s^3r^7C+s^3r^6C+\cdots + s^0r^1C+C$$

Tenga en cuenta que $(s^3r^9)$ es una constante entre $0$ y $1$ ; también, $D$ es una constante. Ahora, centrándonos sólo en la subsecuencia $a_1, a_{13}, a_{25},\ldots$ Puede ser resuelto con técnicas conocidas, ya que no hay casos involucrados. Se puede encontrar el $n$ -ésimo término explícitamente, y puedes encontrar las sumas parciales de esta subsecuencia, $\{a_{1+12k}\}$ .


Ahora, consideremos la subsecuencia $a_2, a_{14}, a_{26},\ldots$ . Sabemos que para esta subsecuencia, $a_{2+12k}=ra_{1+12k}+C$ . Dado que ya hemos encontrado todo sobre la subsecuencia $\{a_{1+2k}\}$ podemos adaptarlo a la subsecuencia $\{a_{2+2k}\}$ .

Hacemos esto repetidamente, para las subsecuencias $\{a_{3+3k}\}, \ldots, \{a_{11+3k}\}$ . Para algunos de ellos utilizaremos $r$ para aprender todo desde el paso anterior; para otros usaremos $s$ .


Al concluir, sabremos el $n$ -ésimo término para cada una de las doce subsecuencias, y las sumas parciales para cada una de las doce subsecuencias. Combinamos esto para obtener las sumas parciales de la serie original, sumando las doce sumas parciales. En cuanto a la $n$ -término de la secuencia original, primero determinamos qué $n$ es el módulo $12$ y, a continuación, elegir el resultado parcial adecuado para aplicarlo.

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