¿Por qué$F: [0,1) \rightarrow S^1$ con$f(x) = (\cos2\pi x, \sin2\pi x)$ función continua?

Question

Me estoy enseñando a la Topología de uso de Munkres libro y tiene un problema con el ejemplo de función continua $F\colon [0,1) \rightarrow S^1$. Supongamos que la topología $[0, 1)$ es el fin de la topología cuya base se $\{[0, a) \mid a < 1\}$ e $\{(a, b) \mid 0<a<b<1\}$ , mientras que la base de la $S^1$ es diccionario de orden.

Un punto de $\{(x,y) \mid x \notin \{0,1\}, y > 0\}$ tiene el punto exacto $(x,-y)$ se encuentra frente a ella con nada entre. Por lo tanto, el conjunto abierto $\{((x_1,-y_1),(x_2,y_2)) \in S^1 \mid y_1, y_2 > 0\}$ puede ser escrito como $[(x_1,y_1),(x_2,-y_2)]$. ¿Cuál es el conjunto abierto en $[0,1)$ que es la preimagen de tales conjuntos en $S^1$ para una función $f(x) = (\cos2\pi x, \sin2\pi x)$ hacer es continua.

Entiendo por qué las $f^{-1}$ no es continua, pero no puede entender por qué $f$ es continua.

Answer 1

Que el razonamiento es correcto: F es no continua.

Como usted ha señalado, el conjunto $[(x_1,y_1),(x_2,-y_2)]$ es abierto, pero su preimagen no lo es.

De hecho es clopen - a la vez abierto y cerrado. $[0,1)$ no tiene clopen subconjuntos excepto a sí misma y el conjunto vacío, por lo que podemos deducir que el mapa no de $[0,1)$ a $S^1$ con esta topología puede ser continuo. (Buscar la propiedad topológica "conectividad" si no se ha cumplido ya que. Una imagen continua de la conexión de un espacio siempre está conectado; $[0,1)$ está conectado pero $S^1$ no lo es).

Answer 2

Puesto que no está permitido el uso que de la $f= f^1 \times f^2$, $f$ es continua si y sólo si $f^1$ e $f^2$ son continuas:

Un subconjunto abierto de $S^1$ va a ser un discontinuo de la unión de abrir los arcos. La preimagen de la inconexión de la unión de abrir los arcos bajo $F$ va a ser un discontinuo de la unión de intervalos abiertos en $\mathbb R$. Por último, si $A \subseteq B \subseteq C$ e $A$ está abierto en $C$, a continuación, $A$ está abierto en $B$. Aquí, $C=\mathbb R$, $B = [0,1)$ e $A$ es distinto de la unión de intervalos abiertos