Convergencia puntual de la serie de funciones de Fourier$\sqrt{|x|}$

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio:

Deje $f(x) = \sqrt{|x|}$, $x\in[-\pi,\pi]$. Demostrar que la serie de Fourier $s_n(0)$ converge a $f(0)$.

La sugerencia es que se debe considerar la convolución con el Kernel de Dirichlet y Riemann-Lebesgue lema. Este enfoque produce $$s_n(0) = \int_{-\pi}^\pi f(t)\frac{\sin[(N+1/2)t]}{\sin t/2}dt = \int_{-\pi}^\pi f(t)\sin nt\cot(t/2)dt + \int_{-\pi}^\pi f(t)\cos nt dt,$$ and while the integral on the right tends to zero, by R-L, I could not estimate the integral on the left. This seems to come primarily from the fact that $\cuna t/2$ behaves quite poorly around $t = 0$, with $\lim_{x\to 0} f(x)\cot x = \infty$.

He buscado un par de primaria textos del PDE, incluyendo Folland s, Evans y Strauss, y yo no podía encontrar ningún ejemplo de pointwise convergencia preguntas con una función de sin límites derivados. Por otra parte, la única cuestión que he encontrado en MSE fue este uno a uno, pero en este caso la función es impar y las integrales se desvanecen trivialmente. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

El integrando es lo reduce a una integral sobre $[0,\pi]$. Considerar los aportes de las $[0,\delta]$ e $[\delta, \pi]$ por separado.

La contribución de más de $[\delta,\pi]$ converge a $0$ directamente por la Riemann-Lebesgue lema desde $f(t)/\sin(t/2)$ es integrable en dicho intervalo.

Para la contribución de más de $[0,\delta]$ utilice el hecho de que $f$ es no decreciente y continua. Por el segundo valor medio teorema, existe $\xi \in (0, \delta)$ tales que

$$\int_0^\delta f(t) D_N(t) \, dt = f(\delta)\int_\xi^\delta D_N(t) \, dt$$

Por la continuidad, por cualquier $\epsilon > 0$ existe una lo suficientemente pequeño $\delta$ tal que para $0 \leqslant x \leqslant \delta$, tenemos $f(x) < \epsilon$.

Utilizando de nuevo la de Riemann-Lebesgue lema, tenemos como $N \to \infty$,

$$\left|f(\delta)\int_\xi^\delta D_N(t) \, dt \right| \leqslant \epsilon\left|\int_\xi^\delta D_N(t) \, dt \right| \to 0 $$

Por lo tanto, $\lim_{N \to \infty} S_N(0) = 0 = f(0).$