$\int_0^{100}\frac{e^{-x}}{x+100}dx>0.005$ ?

Question

$\int_0^{100}\frac{e^{-x}}{x+100}dx>0.005$ ? Mi intento: $$\int_0^{100}\frac{e^{-x}}{x+100}dx>\int_0^{100}\frac{e^{-x}}{200}dx=\frac{1-e^{-100}}{200}$$ Un pequeño error. ¿Cómo corregirlo?

Answer 1

La idea: El integrando disminuye rápidamente en el intervalo dado, por lo que la idea es estimar la integral desde abajo integrando en un intervalo más corto $[0, a]$ y luego continuar con su enfoque, pero con un mejor límite para el denominador:

Para $0 < a < 100$ podemos estimar $$I = \int_0^{100}\frac{e^{-x}}{x+100}dx \ge \int_0^a\frac{e^{-x}}{x+100}dx \\ \ge \int_0^a\frac{e^{-x}}{a+100}dx = \frac{1-e^{-a}}{a+100} \, . $$ Para $a=4$ esto da $$ I \ge \frac{1-e^{-4}}{104} \approx 0.00943927270299294 $$ que se aproxima bastante al resultado $I \approx 0.009901942286733037$ (obtenido por integración numérica con Maxima).

También podemos evitar calcular $e^{-a}$ numéricamente y utilizar $e^a \ge 1+a$ para seguir estimando $$ I \ge \frac{1-e^{-a}}{a+100} \ge \frac{a}{(a+1)(a+100)} \, . $$ Para $a=10$ esto da $$ I \ge \frac{1}{121} \approx 0.008264462809917356 \,. $$

Answer 2

Utilice $e^u\ge 1+u$ para concluir $$ \frac1{1+u}\ge e^{-u}\implies \frac1{100+x}\ge\frac1{100}e^{-x/100}. $$ A continuación, utilizando de nuevo $1-e^{-u}\ge1-\frac1{1+u}$ , $$ \int_0^{100}\frac{e^{-x}}{100+x}dx \ge\frac1{100} \int_0^{100} e^{-\frac{101}{100}x} dx =\frac1{100} \frac{100}{101} \left( 1-e^{-101} \right) \ge\frac1{101}\left(1-\frac1{102}\right)=\frac1{102} $$ que es decididamente mayor que $\frac1{200}$ .

Answer 3

Utilizando la función MatDeck para la integración numérica (regla de integración de Gauss en este caso) se puede obtener un valor aproximado de 0,00990194

Integración numérica MatDeck - Regla de integración de Gauss