¿Cuáles son las ventajas de terminar una prueba con "QED"?

Question

Sé que "CQD" indica el final de una prueba. También utilizamos $\square$ o similar.

¿Cómo podemos comenzar a hacerlo? Es una práctica muy antigua pasado de griego matemáticos como Euclides hace más de veinte siglos.

Pero ¿cuáles son las ventajas de hacerlo? Me gustaría una respuesta que soluciona varios contextos, que van desde libros a los papeles, incluso, puestos aquí.

Que puedo hacer conjeturas y convencer a mí mismo de una manera o de otra, pero me gustaría escuchar a aquellos que tienen más experiencia.

Answer 1

Es parte de la gramática de la matemática de la escritura/discurso.

Una prueba es una unidad fundamental del discurso matemático. Es importante, por tanto, han eficiente de los marcadores de inicio y final de la unidad. No importa cuáles son estos - los detalles son arbitrarias.

Usted mencionó que el final de la prueba. Hay convencional inicios demasiado: por ejemplo, "Teorema 2" o "de la Proposición 5.6" o "Lema 3.2", seguido por una declaración de lo que es ser demostrado. ¿Por qué no acaba de salir de esto?

¿Por qué no es redundante: bueno, a veces la gente escribe o dice cosas como "en la prueba de la proposición 5" - y si tenemos marcadores de comienzo y final de la prueba que sabemos cuál es el punto de referencia.

La clave es que cuesta poco y se añade a la eficiencia y la precisión de la comunicación.

Answer 2

QED es la abreviatura de la frase en latín quod brindamos demonstrandum y medio, vagamente, "que el que iba a ser mostrado". Como se señaló en los comentarios, es un resumen de la manera de decir que la prueba está concluida. El $\square$ símbolo (a menudo se llena en) parece tener su origen en las revistas en la década de mil novecientos, pero también como señaló un comentarista) la Historia de las Matemáticas Stackexchange sería un mejor lugar para lograrlo.

Por qué indicar el final de una prueba? Varias razones:

1. En un libro donde hay tanto debate y prueba que indica el final de la prueba impide que un lector de pensar que la discusión siguiente es todavía parte de la prueba. Si el lector está teniendo problemas para entender la prueba de esto les impide llegar más confundido al pensar que una introducción a la idea siguiente es parte de la prueba que están luchando con.

2. No todos los libros son los libros de texto. Algunos son obras de referencia, y para un investigador que está rozando un texto buscando un teorema, la prueba o la idea de que el final de la prueba de marcador es realmente útil para saltar hacia abajo de la página en los bloques.

3. Es una especie de tradicional. Vistazo a los libros escritos 100 o 150 años atrás y encontrarás prácticamente no "Teorema", "Lema" o incluso "Prueba" de allí. Las Ideas son, y tal vez un teorema es cursiva (pero no a menudo) y, a continuación, comprobado. El final de la prueba de marcador es mucho más útil en textos como este, porque es ahora una final de la idea marcador y es muy útil en la navegación por el texto. Pero los seres humanos tienden a ser ordenado, por lo que cuando el Lexema-Teorema de la Prueba de estilo formado, el final de la idea marcador se mantuvo tal cual ayudó con claridad.

Answer 3

Voy a ofrecer un poco diferente respuesta que nos sostiene a veces tienen un beneficio neto de una estrategia de este tipo, pero a veces no. Por eso, cuando es beneficioso? Bueno, eso es complicado.

Comparemos dos maneras muy diferentes de explicar cómo sabemos algo. Ejemplo 1:

Números enteros positivos tienen el primer factorisations (desde un mínimo de contraejemplo no podía ser de primer y por lo tanto, sería un producto de dos pequeños enteros positivos cuya principal factorisations fuerza de una contradicción), y hasta permuting primer factores factorisations son únicos (ya que si $n=\prod_i p_i=\prod_j q_j$ son distintos factorisations para un mínimo de contraejemplo $n$ cada $p_i$ se divide, y por lo tanto es igual, algunos $q_j$, de donde $n/p_1$ o $n/q_1$ es menor contraejemplo a menos que ambos productos están vacíos y, por tanto, idénticos).

Esta frase la prueba del teorema fundamental de la aritmética sería bastante fácil para un lector que sabe (1) cómo presentar una prueba por inducción en términos de una hipotética mínima contraejemplos y (2) que los primos de dividir al menos un factor de productos que se dividen, que sigue de Bézout del lexema. Si estás seguro de que sus lectores pueden manejar esto, se podría pensar que sería un desperdicio de tiempo de todos para escribir

Teorema, con el nombre de: bla, bla, bla

Prueba: varias frases $\square$

Yo casi nunca escriba las soluciones en este sitio web en un formato, en parte porque tengo miedo de verbosidad puede detener a un lector de ver el bosque por los árboles. Incluso en mi tesis de Doctorado, cuando pruebo algo, sucintamente, simplemente me ", razonó en voz alta" en las oraciones que lo hacen parecer más como una cadena de observaciones casuales, donde $\square$ no pertenece (y, si se utiliza, se sentiría como si fuera una elección extraña cuando se detenga por completo que haría). A veces, esa es una buena manera de hacerlo, aunque sólo sea porque (creo) que refleja la forma de entender las cosas. La gente está acostumbrada a pensar en las frases, no en un particular estilo de formato exclusivo para el texto. Y si bien esta estrategia muy rara vez utiliza palabras como prueba o teorema, en muchos casos, no duele el rigor y la formalidad de la prueba.

(Eso sí, admito que si estoy tratando de defender un estilo de escritura, la larga frase en mi ejemplo es "empujando".)

Pero se preguntó por qué le iba a utilizar dicho formato, haga? Bien, echemos un vistazo a algunas cosas que pueden hacer fracasar el anterior estilo:

• La prueba es lo suficientemente larga como un nuevo párrafo debe comenzar cuando se termine; y, sólo en caso de que el siguiente párrafo se podría esperar también ser parte de la prueba, es necesario dejar en claro que no lo es. Las pruebas pueden ser de largo porque no hay opción más corta que existe, porque el autor no sabe de uno, o porque el tipo de compresión que he usado anteriormente se pide demasiado al lector. (Sospecho que mi ejemplo anterior podría ser un poco demasiado para la mayoría de la gente si era la primera vez que nunca vemos el TLC probado.) Heck, incluso la necesidad de tomar una o más ecuaciones de visualización de la línea puede romper el ojo de la definición de un párrafo demasiado para salirse con la "conversación" enfoque que he descrito.
• La prueba debe ser extendido para familiarizar al lector con las técnicas es el propósito de ilustrar. Ejemplo 2 a continuación muestra cómo se ve esto cuando estamos ayudando a la gente a aprender de inducción (pero después de un tiempo, usted puede, literalmente, acaba de escribir el teorema y decir que se sigue por la inducción, y la totalidad de la prueba al instante se forma en el lector de la cabeza):

Teorema: para todos los enteros $n\ge 0$, $\sum_{j=1}^n(2j-1)=n^2$.

Base paso de la prueba por la debilidad de la inducción: $\sum_{j=1}^n(2j-1)$ es un vacío suma, igual a $0=0^2$ como se desee.

Inductivo paso: si $\sum_{j=1}^k(2j-1)=k^2$ entonces $\sum_{j=1}^{k+1}(2j-1)=k^2+2(k+1)-2=(k+1)^2$. $\square$

• El resultado es tan importante que tiene un nombre, y las necesidades de frente y el centro de atención. Podría dar su nombre al capítulo que está leyendo, incluso si la mayor parte del capítulo se analiza su significado, mientras que la prueba en sí es la mitad de una página. Si yo hubiera anexado "Este es el llamado teorema fundamental del álgebra" a la del ejemplo 1, me hubiera enterrado el lede. (Y el lector podría preguntarse si ambas partes o sólo la segunda fueron el teorema; y, si hubiese dicho "estos dos resultados", algunos lectores no han analizado a fin de saber cuál de los dos resultados que quiero decir. Así que de cualquier manera, yo no puedo ganar.) Eres bienvenido a inventar sus propios ejemplos de cuando el nombre debe ser frontal, pero las razones por las que habría de variar. El formato del curso es un arte, donde cualquier número de preocupaciones puede venir de vez en cuando. Pero una vez que usted está comprometido a teorema-con-nombre seguido por la prueba de... bueno, ya hemos visto a donde nos lleva en términos de espacio.

Como ya he dicho, a veces veo un beneficio en la realización de una prueba se parecen más a una observación obvia de algo que tiene el formato tallados en el resto del documento del flujo. Me dijo que el no hacer esto puede dejar a uno ver el bosque por los árboles; uno quiere saber el "punto principal" de la prueba, la "razón" de un teorema es verdadero. (Matemáticos rara vez pensamos en pruebas como las explicaciones, pero pueden ser sucinta, lo suficiente como para ser comparable a la de las explicaciones que podemos encontrar en otras partes de la vida.) Sin embargo, a veces usted realmente necesita para tomar los árboles de una en una, o hay demasiados para tomar en el bosque entero a la vez. A veces, una prueba es aún presenta como:

Vamos a probar el teorema, que es la B. comenzamos por probar C. demostrar D. a continuación mostramos esto implica A.

No es de extrañar que necesita un final de la señal después de todo eso, antes de pasar a la siguiente teorema.

Habiendo dicho eso, se podría argumentar que algunos matemáticos publicaciones, sean de la tesis doctoral o Andrew Wiles la prueba del último teorema de Fermat, son esencialmente una larga prueba con un montón de lemas (que puede o no puede ser explícitamente de relieve como tal). El fin de que la prueba no tiene el mismo fundamento para la señalización, precisamente porque nada es la siguiente.