¿Cómo se pueden incorporar los términos de disipación/fricción a un lagrangiano?

Question

Estoy tratando de encontrar un Lagrangiano adecuado para un oscilador armónico amortiguado, un sistema que satisface la siguiente ecuación de movimiento:

$$m \ddot{x} + \gamma \dot{x} + \frac{d\phi}{dx} = 0.$$

Lo que encuentro en la mayoría de los textos es que el Lagrangiano se define como

$$L = T - V$$

y los términos de disipación se obtienen a partir de una función de disipación independiente

$$\mathscr{F} = \frac{1}{2}\gamma\dot{x}^2$$

que da la ecuación de Lagrange

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) - \frac{\partial L}{\partial x} = -\frac{\partial \mathscr{F}}{\partial \dot{x}}.$$

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Sin embargo, estoy tratando de derivar el MOE a partir de principios variacionales básicos, estableciendo $\delta S = 0$ , donde $S$ es la acción.

¿Hay alguna forma de incorporar el término de disipación en la lagrangiana para que esto sea posible? Si no, ¿por qué no se puede incorporar?

No soy capaz de encontrar el razonamiento detrás de esto en los textos a los que me he referido hasta ahora (Goldstein así como Landau-Lishitz), y sería útil si alguien pudiera dirigirme hacia un recurso donde pueda encontrar algo sobre esto.

Answer 1

El principio variacional produce la ecuación de movimiento que escribiste a partir del Lagrangiano escrito abajo: $$L(t,x, \dot{x}) = e^{\gamma t/m} \left(\frac{1}{2}m \dot{x}^2 -\phi(x)\right)\:.$$ (Véase también Lagrangianos no de la forma $T-U$ .)