Traté de encontrar este reordenamiento, pero siempre me quedé atascado (haciendo una serie que convergía a un valor negativo o positivo). Apreciaría cualquier ayuda.
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El reordenamiento resultante funciona: $$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\\+\frac{1}{3}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}-\frac{1}{14}-\frac{1}{16}\\+\ldots$ $ Continuando con un término positivo seguido de cuatro términos negativos. Este artículo de Wikipedia muestra cómo construir un reordenamiento que converge a cualquier valor.
runeh
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1304
No he comprobado esto en detalle, pero algo como debería funcionar:
Empezar con $1-\frac 12 +\frac 13-\frac 14+\frac 15 - \dots$
Extracto de las subsecuencias $$1-\frac 12-\frac 14-\frac 18-\frac 1{16}-\dots$$$$\frac 13-\frac 16-\frac 1{12}-\frac 1{24}-\dots$$$$\frac 15-\frac 1{10}-\frac 1{20}-\frac 1{40}-\dots$$etc
Ahora tome $$1-\frac 12+\frac 13-\frac 14-\frac 16+\frac 15-\frac 18-\frac 1{12}-\frac 1{10}+\frac 17-\dots$$
Donde se toma un término negativo de cada uno de los "activos" de las subsecuencias antes de tomar el siguiente término positivo. Dado que este es sistemática usted debería ser capaz de encontrar la fórmula explícita para el término general. Se mantiene positiva en todo, sino que debe ser la disminución de la rapidez suficiente, ya que está construido de manera exponencial decreciente subsecuencias.
[Siempre se puede tomar más de los términos negativos si usted necesita por ejemplo, cuando usted trae en $\frac 13$ traer dos términos negativos de que la secuencia de lo que en "capturas" y, a continuación, cuando usted trae en la $n^{th}$ término positivo, traer en $n$ términos negativos de esa secuencia. Así que al final de la $n^{th}$ tramo tiene una positiva y $n$ términos negativos de cada subsequence - que es probablemente más fácil para mostrar la convergencia.]
