Serie asintótica

Question

(Soy consciente de expansión Asintótica de $v_n = 2^nu_n$ donde $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\arctan(u_n)$ pero no tiene respuestas...)

Vamos a ser $u_0 \in \mathbb{R}$ y la secuencia de $(u_n)_n$ definido por: $u_{n + 1} = \frac12 \arctan(u_n)$.

Yo también definen: $v_n = 2^n u_n$, por lo que puedo mostrar que: $\lim (u_n)_n = 0$ (mediante el estudio de $x \mapsto \frac12 \arctan(x)$), por lo tanto, puedo demostrar que $(v_n)_n$ es monotono y converge porque está enlazado.

Ahora, llego a la conclusión: $u_n \sim \dfrac{l}{2^n}$, me gustaría determinar $l$ más precisamente.

Aquí es lo que he intentado, sospecho $l$ a ser algo parecido a $f(\pi)$ para algunos $f$ :

• empuje la expansión asintótica de $\arctan$ a los de 2º orden y reinyectarla ella ;
• el uso de $\arctan(u_n) + \arctan(1/u_n) = \dfrac{\pi}{2}$ ;
• el uso de la serie de técnicas para buscar $\sum v_{n + 1} - v_n$, tal vez la conclusión utilizando Cesaro suma

Answer 1

Para mayor comodidad podemos hacer una ligera generalización del problema. Deje $\,u_0\,$ e $\,y\,$ ser números dados y supongamos que $\,u_{n+1} = y \arctan(u_n)\,$ para $\,n\ge 0\,$ donde $\ y=1/2\ $ en el original de la recursividad. Definir con potencia de serie la función de $$ F(x,y,z) := z\left(x + \frac{-1+z^2}{1-y^2}\frac{x^3}3 +\frac{(1-z^2)((3-2z^2)+y^2(2-3z^2)}{(1-y^2)(1-y^4)}\frac{x^5}{15} + O(x^7) \right) $$ que satisface la ecuación de $\,F(x,y,yz) = \arctan(F(x,y,z))y.\,$ Entonces obtenemos la ecuación de $\, u_n = F(x,y,y^n)\,$ donde $\, x = \lim_{n\to\infty} u_n/y^n.\,$ I saber algo más de los términos en el poder de expansión de la serie si usted está interesado. Así obtenemos el resultado $\, u_n \approx y^n(x - (1-y^{2n})x^3/(3(1-y^2))).\,$

Answer 2

Respuesta parcial para $u_0>0$, luego $$u_{n+1}-\frac{u_n}{2}=\frac{1}{2}(\arctan{u_n}-u_n)<0$$ debido a $f(x)=\arctan{x}-x<0$ positivos $x$, lo que $$0<u_{n+1}<\frac{u_n}{2}<u_n \tag{1}$$ El uso de MVT, $\exists z\in(u_{n+1},u_n)$s.t. $$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}\left(\arctan{u_n}-\arctan{u_{n-1}}\right)= \frac{1}{2}\frac{u_{n}-u_{n-1}}{z^2+1}$$ o (debido a $\color{red}{u_n-u_{n-1}<0}$) $$\frac{1}{2}\cdot \frac{u_{n}-u_{n-1}}{u_{n+1}^2+1}< u_{n+1}-u_n< \frac{1}{2}\cdot \frac{u_{n}-u_{n-1}}{u_{n}^2+1}$$ o $$\frac{u_{0}-u_{1}}{2^n}\prod\limits_{k=1}^n\frac{1}{u_{k+1}^2+1}< u_{n+1}-u_n< \frac{u_{0}-u_{1}}{2^n}\prod\limits_{k=1}^n\frac{1}{u_{k}^2+1}$$ Considerando $u_{n+1}-u_n \sim -\frac{l}{2^{n+1}}$luego $$\frac{u_{0}-u_{1}}{2^n}\prod\limits_{k=1}^n\frac{1}{u_{k+1}^2+1}> \frac{l}{2^{n+1}}> \frac{u_{0}-u_{1}}{2^n}\prod\limits_{k=1}^n\frac{1}{u_{k}^2+1}$$ o $$\frac{2(u_{0}-u_{1})}{\prod\limits_{k=1}^n\left(u_{k+1}^2+1\right)}= \frac{2(u_{0}-u_{1})\left(u_{1}^2+1\right)}{\prod\limits_{k=1}^{n+1}\left(u_{k}^2+1\right)}> l> \frac{2(u_{0}-u_{1})}{\prod\limits_{k=1}^n\left(u_{k}^2+1\right)}$$ o $$L_1>l>L_2$$ donde $$L_2=\frac{2(u_{0}-u_{1})}{\lim\limits_{n\to\infty}\prod\limits_{k=1}^n(u_{k+1}^2+1)} \text{ y } L_1=L_2\left(u_{1}^2+1\right) \etiqueta{2}$$

So, it looks like Robert (see the comments) was right, it depends on $u_0$.

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Nota: el siguiente límite existe $$\lim\limits_{n\to\infty}\prod\limits_{k=1}^n(u_{k+1}^2+1)$$ porque $$0<\sum\limits_{k=1}\ln(u_{k+1}^2+1)<\sum\limits_{k=1}u_{k+1}^2<\infty$$ mediante la prueba de razón de $(1)$.

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El código siguiente es computing $(2)$ pero con un $\frac{1}{u_0}$ factor. Usted notará una cierta estabilidad en $\frac{L_1}{2^n u_0 \cdot u_n}$ e $\frac{L_2}{2^n u_0 \cdot u_n}$ para varios $u_0$

from math import atan
from math import pow

N = 300
U_0 = 190.0

u = []

it = U_0
u.append(it)

for i in range(1, N):
    it = 0.5 * atan(it)
    u.append(it)

val = 1.0
for i in range(1, N):
    val *= (u[i] * u[i] + 1.0)


L2 = (2.0 * (u[0] - u[1]) / val) / u[0]
L1 = L2 * (u[1] * u[1] + 1.0)
MID = (L1 + L2) / 2.0

print "limit L1 =",L1
print "limit L2 =",L2
print "limit MID =",MID

for i in range(N-100, N):
    Lp1 = L1 / pow(2, i)
    Lp2 = L2 / pow(2, i)
    MIDp = MID / pow(2, i)

    r1 = Lp1 / u[i]
    r2 = Lp2 / u[i]
    rMID = MIDp / u[i]

    print Lp2," vs ",u[i]," vs ",Lp1," --- ",MIDp
    print r2," vs ",r1," --- ",rMID

Pruébalo aquí.