Una complicada integración sobre la esfera unitaria.

Question

Por favor, que me ayude a resolver la siguiente integral, $$ I=\int\limits_{\{x,y,z\}\in \mathbb{S}^2}\!\!\!\max\{0,x,x\cos{\theta}+y\sin{\theta}\}\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz $$ donde $\mathbb{S}^2$ es una unidad de la esfera y de $\theta$ es una constante tal que $0\le\theta\le2\pi$.
Numéricamente (hasta de precisión arbitraria) esto es igual a $$ I=\pi(1+\frac{\sqrt{(1-\cos{\theta})^2+\sin^2{\theta}}}{2}). $$ Yo soy incapaz de resolver/probar este analíticamente.

Esto es para un proyecto de investigación, cualquier ayuda sería muy apreciada y reconocida en el artículo.

Answer 1

Voy a escribir $\theta_0$ donde usted escribe $\theta$ , de modo que puedo usar más tarde $\theta$ en la forma habitual como parte de coordenadas esféricas.

Definir vectores $\mathbf u_1 = (1, 0, 0)^T$y $\mathbf u_2 = (\cos\theta_0, \sin\theta_0, 0)^T$. Para cualquier punto de $(x,y,z)$, si lo vemos de ese punto como un vector $\mathbf v = (x,y,z)^T$ a continuación, $x = \mathbf v^T\mathbf u_1$ y $x\cos\theta + y\sin\theta = \mathbf v^T\mathbf u_2.$

El ángulo entre los vectores $\mathbf u_1$ e $\mathbf u_2$ es $\theta_0.$ Deje $S$ ser el plano a través de la $z$ eje divide en dos partes iguales el ángulo entre $\mathbf u_1$ e $\mathbf u_2$; a continuación, $\max\{0,x,x\cos\theta_0+y\sin\theta_0\} = x$ cuando $(x,y,z)$ está en el mismo lado de la $y,z$ plano como $\mathbf u_1$ (o el positivo $x$ eje) y también en el mismo lado del plano de $P$ como $\mathbf u_1$. Es decir, la parte de la integral donde estamos integración de la $x$ es un segmento de la esfera generada por la colocación de un semicírculo con los endpoints $(0,0,\pm 1)$ y la rotación de la $y,z$ avión a la $x,z$ avión y un ángulo de $\frac{\theta_0}2$ más allá de eso. Es decir, el ángulo del segmento de es $\frac\pi2 + \frac{\theta_0}2.$

En otro segmento de la esfera integramos $x\cos\theta_0+y\sin\theta_0.$ Ese segmento es una imagen especular de la primera segmento en el plano de la $P,$ y su contribución a la integral es el mismo. En el resto de la esfera de la integral es cero.

Así que sólo tenemos que integrar a $x$ sobre el segmento en el que el integrando es $x,$ y luego multiplicar el resultado por $2$ con el fin de contar tanto de la los segmentos donde la integral es cero.

Dependiendo de la forma $\mathbf u_2$ está señalando, el segmento donde integramos $x$ podría ser en su mayoría positivo de la $y$ lado de la $x,z$ plano o en su mayor parte en el negativo $y$ lado. De cualquier manera, conseguimos los mismos integral por la reflexión a través de la $x,z$ plano, de modo que podemos obtener la respuesta correcta, asumiendo el segmento es principalmente en el positivo $y$ lado.

Tan sólo necesita para calcular esta integral para $r = 1$ en coordenadas esféricas (donde $\phi = 0$ positivo $z$ eje y $\theta = 0$ positivo $x$eje): $$ 2 \int_{-\theta_0/2}^{\pi/2} \int_0^\pi x \sin\phi\, \mathrm d\phi\,\mathrm d\theta = 2 \int_{-\theta_0/2}^{\pi/2} \int_0^\pi \cos\theta \sin^2\phi \,\mathrm d\phi\,\mathrm d\theta = \pi \left(1 + \sin \frac{\theta_0}2 \right),$$

que es exactamente igual a su resultado numérico.

Answer 2

Perdóname, pero quiero hacer esta integral en coordenadas polares, y para que quiero usar el símbolo $\theta$ que es su número especial. Voy a escribir $\alpha \in (0,2\pi)$ para el número que elija. En coordenadas polares,

$$x=\sin\theta\cos\phi, y=\sin \theta\sin\phi, z=\cos \theta$$

Vamos a simplificar su integrando. Queremos saber cuál de los tres números es más grande: $0$, $\sin\theta\cos \phi$, e $x\cos\alpha + y\sin\alpha$. La sustitución se obtiene: $$x\cos\alpha + y\sin\alpha = \sin\theta \cos \phi \cos \alpha + \sin \theta \sin \phi\sin \alpha = \sin \theta \cos(\phi-\alpha)$$ La comparación de las 2 funciones con $0$ es bastante fácil, pero comparándolos unos con otros es difícil. Considere la posibilidad de:

\begin{align*} \cos \phi - \cos(\phi-\alpha) &= -2\sin\left(\frac{\phi -(\phi-\alpha)}{2}\right)\sin\left(\frac{\phi +(\phi - \alpha)}{2}\right)\\ &=2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \phi\right) \end{align*} que es $0$ si $\alpha/2=n\pi$ (obviamente), o $\phi = \alpha/2 + n\pi$.

Por supuesto, su integral será cero si ambos $x$ e $x\cos\alpha + y\sin \alpha$ son negativos. Cuando ocurre eso? Bien, $x < 0 $ fib $\cos \phi < 0$. Y $\sin\theta \cos(\phi-\alpha) < 0$ fib $\cos(\phi-\alpha) < 0$ desde el ángulo polar $\theta$ es de $(0,\pi)$. Por lo que ambos términos son negativos cuando:

$$\pi/2 \le \phi \le 3\pi/2, \quad \text{and} \quad \phi \in (\alpha + \pi/2, \alpha-\pi/2) + 2\pi \mathbb{Z}$$

Eso debería ser suficiente para ir, creo.