Supongamos que $G$ es un grupo de orden $924=2^2\cdot3\cdot7\cdot 11$. Demostrar que $G$ tiene un elemento de orden $77$.
Mi intento:
Por los teoremas de Sylow, sabemos que existen elementos $ a, b\in G$ con $o(a)=7 $ e $o(b)=11$. Tenga en cuenta que $\gcd(7,11)=1$, así que si podemos mostrar que $ab=ba$ entonces estamos a través de.
Considerar el grupo $\langle a \rangle$ que actúa sobre el conjunto de $\Omega=\{g\in G: o(g)=11\}$ por $$ a^k\cdot g:=a^kga^{-k}\ , k=1,2,...,7. $$ Tenga en cuenta que el elemento y su conjugado tienen el mismo orden y podemos comprobar fácilmente que se trata de un bien definidas $\langle a\rangle$ grupo de acción sobre $\Omega$. Ahora por la Victoria del lexema, sabemos que el número de órbitas, que se denota por $|\Omega/\langle a\rangle|$: $$ |\Omega/\langle a\rangle|=\frac{1}{7}\sum_{a^{k}\in\langle a\rangle}|\Omega^{a^k}| $$ where $\Omega^{a^k}=\{g\en\Omega:a^k\cdot g=g\}$.
Ahora supongamos lo contrario, es decir, no hay elementos fijos por $a^k$ en $\Omega$ si $k\ne 7$($a^7=e$ de la unidad), a continuación, $$ |\Omega/\langle a\rangle|=\frac{1}{7}\sum_{e}|\Omega^{e}|=\frac{|\Omega|}{7}\in\mathbb Z. $$ Por lo $\displaystyle 7\vert |\Omega|$. Pero el número de Sylow $11$-subgrupos $n_{11}| 12\cdot 7$ e $n_{11}\equiv 1\pmod {11}$, tenemos $n_{11}=1$ o $n_{11}=12$ y en cualquiera de los casos, $|\Omega|=11-1=10$ e $|\Omega|=12\cdot (11-1)=12\cdot 10=120$, respectivamente. Pero ni $7$ divide $10$ ni $7$ divide $120$ y hemos terminado.
Es mi razonamiento correcto? Por otra parte, estoy buscando otras soluciones sin el uso de Burnside del lexema. Gracias.
Respuestas
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Bien sabemos que hay elementos de orden $7$ e $11$ y si cualquier par de elementos tales conmutar a continuación, se genera un subgrupo cíclico de orden $77$.
Creo que se puede argumentar que si el número de subgrupos de orden $11$ no $1$ entonces es $12$ (Sylow de nuevo: $\equiv 1 \bmod 11$). Tomar estos dos casos juntos.
Tomar un elemento $a$ orden $7$ y déjelo actuar en estos subgrupos por conjugación. Las órbitas deben ser de una sola subgrupos o conjuntos de $7$ subgrupos. En cualquier caso no es un subgrupo de orden $11$ fijado en virtud de la conjugación de la acción.
Ahora considere la posibilidad de la acción en dicho subgrupo - el automorphism grupo de un grupo cíclico de orden $11$ tiene orden de $10$ y la acción induce un homomorphism del grupo de orden $7$ generado por $a$ a la automorphism grupo. La imagen es un subgrupo de orden $1$ o $7$, y debe ser $1$. Por lo tanto, $a$ actos trivialmente en el subgrupo de orden $11$ y desplazamientos con sus miembros.
Puede omitir Burnside del lema completamente.
El número de Sylow-11 del es $n_{11}=1$ o $n_{11}=12$. Dado que todos los Sylow-11s son conjugado, obtenemos $n_{11}=\lvert G\rvert/\lvert N(P_{11})\rvert$ de órbita-estabilizador (como en la prueba de Sylow primer teorema), es decir, $\lvert N(P_{11})\rvert=\lvert G\rvert/ n_{11}$, el cual es divisible por $7$ en ambos casos. Así que hay una Sylow-7 normalizar una Sylow-11, es decir, hay un $C_{11}\rtimes C_7$ como un subgrupo de $G$. Pero no trivial homomorphism $C_7\to\operatorname{Aut}C_{11}$ así que esto es sólo $C_{77}$.
