Rudin 2.10 (b) Ejemplo

Question

Deje $A$ el conjunto de los números reales tal que $0 < x \leq 1$ . Para cada $x \in A$, vamos a $E_{x}$ el conjunto de los números reales $y$ tal que $0< y< x$. Entonces

1. $\bigcap_{x \in A} E_{x}$ está vacía.

La Prueba proporcionada en el libro de texto: Tomamos nota de que para cada $y > 0$, $y \notin E_{x}$ si $x < y$. Por lo tanto $y \notin \bigcap_{x \epsilon A} E_{x}$

Yo no entendía la prueba y también aquí, es mi entendimiento.

Argumento en contra-1: siempre podemos encontrar un número real entre todos los $(0,x)$ donde x es $x > 0$. Así, no puede ser vacío.

Argumento en contra-2: Esto es de alguna manera similar a Anidada propiedad de intervalo, por Lo tanto, no puede estar vacío.

Por favor explique cómo rudin tiene este resultado ?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\bigcap_{x\in A}E_x\subset(0,\infty)$. Si $y\in \bigcap_{x\in A}E_x\subset(0,\infty)$, esto significa que $y<x$ para todos los $x>0$. Como Rudin dice, esto es una contradicción, porque dado $y>0$, siempre se puede encontrar $x$ con $0<x<y$ (por ejemplo, $x=y/2$).

Respecto a su comentario, el anidado intervalo de propiedad sobre conjuntos compactos. Estos son abiertos y no cerrados.

Answer 2

Tenga en cuenta que $x\notin E_x$ para cada $x$