La matriz inversa de$a_{ij}=i^{j}$

Question

Esta es mi primera pregunta, lo siento si he cometido errores.

$\left(\begin{array}{ccccc}1&1&1&\cdots&1\\2&2^2&2^3&\cdots&2^n\\3&3^2&3^3&\cdots&3^n\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\n&n^2&n^3&\cdots&n^n\end{array}\right)$

Para resolver el anterior inversa de la matriz, Traté de resolver el siguiente forro de ecuaciones simultáneas, en la n-ésima de las incógnitas.

$kx_1+k^2x_2+\cdots+k^nx_n=1+2^{n-1}+\cdots+k^{n-1}$
$k=1,2,\cdots,n$

Inductivamente, sé que la solución de la camisa ecuaciones simultáneas.

$x_k=\frac{B_{n-k}}{n-k} {n-1 \choose n-k-1} (1≦k<n-1)$
$x_{n-1}=\frac{1}{2}$
$x_n=\frac{1}{n}$

Pero a pesar de que he resuelto las soluciones de las ecuaciones, no tengo ideas de cómo usarlo.

Pensé Vandermonde del déterminant puede ser eficaz, pero no tengo ideas de cómo usarlo.

Answer 1

Si eso puede ayudar, algunos inversos:

$$\frac12\begin{pmatrix}4&-1\\-2&1\end{pmatrix}$ $$$\frac16\begin{pmatrix}18& -9& 2\\-15& 12& -3\\3& -3& 1\end{pmatrix}$ $

PS

PS

PS

No hay patrón fácilmente discernible, excepto por los coeficientes binomiales en la última fila.