Encuentre$n \times n$ matrices$A$ tal que$\det A = 0$ y$\text{rank}(AB) = \text{rank}(BA)$ para cualquier$n \times n$ matriz$B$

Question

Encontrar todos los valores complejos de $n \times n$ matrices $A$ tal que $\det A = 0$ e $\text{rank}(AB) = \text{rank}(BA)$ cualquier $n \times n$ valores complejos de $B$.

Creo que $A = 0$ es la única respuesta.

He sido capaz de probar que, si $A$ es de rango $r$, ninguna de las $r$ líneas y cualquier $r$ columnas son linealmente independientes. Para ver esto, observe que puesto que $A$ es de rango $r$, luego la ha $r$ columnas linealmente independientes; decir que los índices de estas columnas se $i_1, i_2, ..., i_r$. Luego, al hacer B igual a una matriz que tiene 1 en las posiciones de $(i_k,i_k)$ y 0 en otros lugares, $AB$ , básicamente, "selecciona" $r$ independiente de las columnas de $A$ tener todas las demás columnas igual a 0, por lo $\text{rank} AB = r$.

Ahora, $BA$ selecciona las filas $i_1,i_2,..,i_r$ de $A$. Si $A$ eran $r$ filas que no son linealmente independientes, entonces no sería una matriz inversible $M$ que tendría lugar en estas filas en las posiciones de $i_1,i_2,...,i_r$. Entonces $$\text{rank} (BA) = \text{rank} (BAM) < r,$$

lo que estaría en contradicción con nuestra hipótesis. Por lo tanto, cualquier $r$ filas de $A$ son linealmente independientes. Ejecutando el mismo argumento a la inversa, obtenemos que cualquier $r$ líneas de $A$ son linealmente independientes.

Cualquier idea acerca de cómo proceder?

Answer 1

Aquí está una manera simple. Supongamos $A\ne 0$ e $\det A=0$. Luego de su espacio nulo $N(A)$ y su rango de $R(A)$ son tanto trivial. Así que podemos elegir cualquier valor distinto de cero $v\in N(A)$ e $w\in R(A)$.

Elija cualquier lineal mapa de $\mathbf{B}:\mathbb{R}^n\to N(A)\subseteq\mathbb{R}^n$ tal que $\mathbf{B}w=v$, y deje $B$ ser de su matriz. Entonces es fácil comprobar que $AB=0$ pero $BA\ne 0$.

Answer 2

Otra manera de hacerlo: suponga $\operatorname{rank}A=r$.

Desde ambas condiciones (rank y $\det$) son invariantes bajo pre - y postmultiplication de $A$ por una invertible transformación de $\color{red}{(*)}$, es suficiente para considerar las $A$ en el formulario $$ A=\begin{bmatrix}I_r & 0\\0 & 0\end{bmatrix}. $$ El rango de condición se convierte en $$ \operatorname{rango}\left(\begin{bmatrix}I_r & 0\\0 & 0\end{bmatrix}B\right)= \operatorname{rango}\left(B\begin{bmatrix}I_r & 0\\0 & 0\end{bmatrix}\right). $$ Ahora es fácil encontrar una $B$ que contradice la igualdad si $0<r<n$.

P. S. Explicando $\color{red}{(*)}$: vamos a $A=L\Sigma R$ donde $L$, $R$ son invertible. A continuación, $\det A=0$ fib $\det\Sigma=0$y $$ \operatorname{rango}\Sigma\, RBL= \operatorname{rango}L\Sigma R\,B= \operatorname{rango}B\,L\Sigma R= \operatorname{rango}RBL\,\Sigma. $$ Tome $RBL$ como un nuevo $B$ matriz (arbitrario).