Finitud de ideal de norma dada

Question

Estoy tratando de demostrar que hay sólo un número finito de ideales de cualquier norma en el anillo de enteros $\mathcal{O}_k$ a través de una numberfield $K$.

Sé que hay un "estándar de pruebas" (por ejemplo, cuántos de los elementos en un campo de número de una determinada norma?), pero me pregunto sería una inducción de la prueba en la norma sea válida:

(i) Cierto para $n=1$.

(ii) Por $n=k+1$ si $n$ es primo entonces es rammified, inerte o dividir en $K$, lo que significaría que hay 1, 0 o 2 a los ideales de norma $n$ respectivamente. Si $n$ es compuesto, entonces puede ser tenidos en cuenta en primer ideales de la más pequeña de las normas (desde $\mathcal{O}_k$ es un dominio de Dedekind), donde sólo hay finito de ideales de los más pequeños de la norma, por lo tanto sigue por inducción.

Gracias.

Answer 1

Su argumento es más o menos correcto. Tenga cuidado, sin embargo, podría ser mucho más que dos prime ideales por encima de una determinada primer (pero hay un número finito). También, la inducción es realmente incómodo y no es necesario aquí. Una mucho más limpio de la prueba es sólo para el uso exclusivo de la factorización directa: una arbitraria ideal de $\mathcal O_K$ puede ser escrito como $\wp_1^{r_1}\dots\wp_t^{r_t}$, y la norma de esto es $p_1^{r_1f_1}\dots p_t^{r_1f_t}$. Si usted requiere que esta igualdad de $n$ para algunos $n$, entonces hay un número finito de posibilidades para $t$, para el $\wp$'s, y para el $r$'s.