Más de configuración general
La pregunta realmente encaja en el más general de la configuración que se describe en David Ben-Zvi, la respuesta a esta MO pregunta (que es alrededor de categorification de la Chern de caracteres).
RFC de la dg de álgebras de
Shklyarov es el que se desarrolló RR teorema de noncommutatve derivados de los programas (por esto se debe entender suave adecuado DG álgebras): http://arxiv.org/abs/0710.1937.
Shklyarov el resultado ha sido mejorado recientemente por Petit, Lunts, y también Polishchuk-Vaintrob en el contexto de la matriz factorizations.
Permítanme explicar lo que la declaración es. Deje $A$ ser un adecuado y homologically suave dg álgebra $A$ (medios adecuados que $\sum_n dim(H^n(A))<+\infty$, y homologicaly suave significa que $A$ es perfecto en $D(A\otimes A^{op})$). Deje $M$ ser un perfecto $A$-módulo. Hay un rastro de mapa de $ch:Hom_{D^{perf}(A)}(M,M)\to HH_0(A)$ (ver, por ejemplo, este papel de Caldararu-Willerton para una muy buena descripción del tipo de rastros estoy hablando), que se puede considerar como la Chern carácter.
Ahora para un $A$-módulo de $M$ e una $A^{op}$-módulo de $N$ se puede considerar que la $k$-módulo de $N\otimes_AM$ (todos mis tensor de productos derivados). A continuación, para $f:M\to M$ $g:N\to N$ podemos considerar $ch(g\otimes f)=str(g\otimes f)\in HH_0(k)=k$. Finalmente, la fórmula es
$$
ch(g)\cup ch(f)=ch(g\otimes f)
$$
donde $\cup:HH_*(A^{op})\otimes HH_*(A)\to HH_*(k)=k$ es el llamado (categórica) Mukai de emparejamiento. Esta es en realidad más un Lefshetz tipo de fórmula.
La Todd de la clase es en realidad oculta en el Mukai de emparejamiento (el punto es que para álgebras asociativas no hay analogon ni para la Todd de clase, ni por la costumbre de emparejamiento dada por la integración).
RR para D-módulos
A mi entender, la primera que demostró un RR Teorema de D-módulos es Laumon (Sur la categoría derivee des D-módulos filtres, la Geometría Algebraica, M. Raynaud y T. Shioda eds, Notas de la Conferencia en Matemáticas. Springer-Verlag 1016 páginas 151-237, 1983). A continuación, Schapira y Scheinders también consideró que es (Índice teorema elíptica pares II. Euler de la clase y el índice relativo teorema, Asterisque 224 Soc. De matemáticas. Francia, 1994), y de hecho una muy importante conjetura de que ha sido demostrado por Bressler-Nido-Tsygan el uso de métodos de deformación de cuantización ( http://arxiv.org/abs/math/9904121 y http://arxiv.org/abs/math/0002115) desarrollado por Fedosov.
También hay un papel de Engeli y Felder que le da un Lefschetz tipo de fórmula. Su planteamiento ha sido aclaró más tarde por Ramadoss (él tiene muchas documento sobre este tema que puedes encontrar en arXiv).
El tema realmente se trasladó a la deformación de cuantización. Usted puede aprender mucho acerca de todo esto (también con más detalles en los que uno debe de crédito para qué) en la Sección 4, 5 y 6 de este libro de Kashiwara y Schapira.
Si usted tiene una formal no conmutativa la deformación $A_\hbar$ de la estructura de la gavilla $\mathcal O_X$ (tal vez como un trenzado de resheaf, o algebroid pila - esto es lo que Kashiwara y Schapira llamar a un DQ algebroid), entonces usted puede jugar el mismo juego con un suave adecuado de la dg de álgebras de : definir una traza con valores en la homología de Hochschild, y el estado de un RFC tipo de Teorema (mejor, Lefshetz fórmula) acerca de la compatibilidad de la copa del producto en la homología de Hochschild con la composición de los núcleos. La razón por la que se basa en algunas de finitud y la dualidad propiedades para cohomologicall completa $A_\hbar$-módulos. La principal dificultad es entonces para comprobar dicho resultado.
Para concluir este apartado, permítanme observar que (el álgebra de Rees) $\mathcal D_X$ puede ser visto como una deformación de"$\mathcal O_{T^*X}$.
Relación entre la pregunta de nc esquemas y D-módulos
Por último, pero no menos importante, la relación entre la derivada de la geometría no conmutativa y la deformación de la cuantización de la materia que está dirigida en una muy reciente preprint de Petit: su estrategia para demostrar RFC de DQ algebroids es utilizar el resultado para el buen adecuada de la DG de álgebras. Es decir, que demuestre que alguna derivada de la categoría de cohomologically completar los módulos a través de un DQ-algebroid en una variedad proyectiva tiene un generador compacto.
Este tema es actualmente muy activa.
Me disculpo por que esta respuesta se reduce a una (no exhaustiva) de la lista de referencias. Si usted tiene más específica pregunta me pueden decir a donde ir en estas referencias con el fin de (esperemos) a encontrar una respuesta.
