Centro de masa mediante integración para el elipsoide

Question

Necesito ayuda con el siguiente cálculo:

Tengo que calcular las coordenadas del centro de masa del elipsoide

$$\left( \frac{x}{a} \right)^2 + \left( \frac{y}{b} \right)^2 + \left( \frac{z}{c} \right)^2 \le 1, \quad z \ge 0$$

con densidad de masa $\mu(x,y,z)=z^2$ .

Quería usar:

$$ \begin{align} x & = a r \sin\theta \cos\varphi \\ y & = b r \sin\theta \cos\varphi \\ z & = c r \cos\theta \end{align} $$

mientras que

$$ \begin{gather} 0 \le r \le 1, \\ 0 \le \theta \le \pi, \\ 0 \le \varphi \le 2\pi \end{gather} $$

y

$$\frac{\partial (x,y,z)}{ \partial (r, \theta, \varphi)} = r^2 \sin\theta.$$

¿He elegido las cosas correctas hasta ahora?

1) $$ \begin{align} M & = \int\limits_E µ(x,y,z) d(x,y,z) \\ & = \int_0^1 \hspace{-5pt} \int_0^{\pi} \hspace{-5pt} \int_0^{2\pi} c^2 r^2 \cos^2\theta \cdot r^2 \sin(\theta) d(r, \theta, \varphi) \\ & = c^2 \int_0^1 r^4 dr \int_0^\pi \sin\theta \cdot \cos^2\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\varphi \\ & = \frac{4\pi c^2}{15}. \end{align} $$

2) $$x_s \cdot M = \ldots $$

Aquí tengo $\int_0^{2pi} \cos\varphi \, d \varphi = 0$ ¿el producto entero es cero, así que x_s también es cero?

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Esto puede ser sólo un error tipográfico, pero tienes una parametrización incorrecta de la esfera, debería ser

$$ \begin{align} x & = a r \sin \theta \cos \varphi, \\ y & = b r \sin \theta \sin \varphi, \\ z & = c r \cos \theta. \end{align} $$

Sin embargo, tus límites para cada variable son correctos. Tu jacobiano es incorrecto porque has olvidado tener en cuenta los factores $a,b,c$ . Debe ser

$$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r, \theta, \varphi)} = - abc r^2 \sin \theta.$$

El $-$ es porque esta parametrización de la esfera invierte la orientación.

Cuando edité tu post me aseguré de aclarar algunas cosas pero no edité un par de errores, que pienso explicar ahora:

1) Me volví $d$ 's en $\partial$ para el jacobiano para corregir su notación.

2) Las anotaciones $d(x,y,z)$ y $d(r, \theta, \varphi)$ no tienen sentido, es mejor atenerse a $dx \, dy \, dz$ y $dr \, d \theta \, d \varphi$ .

Tu configuración de la masa es correcta si fijas la jacobiana y añades $abc$ . El cálculo parece que también (no lo he comprobado a fondo).

No entiendo lo que quiere decir con $x_s$ . Si quiere calcular el $x$ coordenada del centro de masa, asumo que estás usando

$$x_s = \frac{1}{M} \int\limits_{E} x \mu \, dV, \text{ or } x_s M = \int\limits_{E} x \mu \, dV.$$

Como has visto, esto es cero, como lo serán los demás. Esto tiene que ver con el comentario de mjqxxxx de que el elipsoide tiene simetría sobre todos los ejes, por lo que su centro de masa tiene que estar en el origen.

Answer 2

La densidad de masa es invariante bajo $x\rightarrow -x$ y $y\rightarrow -y$ por lo que el centro de masa debe tener $x=y=0$ . Todavía tiene que encontrar su $z$ -pero como la densidad de masa es sólo una función de $z$ se puede reducir a una integral unidimensional. A un valor dado de $z$ la sección transversal es una elipse con ejes semimayor y semimayor $a\sqrt{1-(z/c)^2}$ y $b\sqrt{1-(z/c)^2}$ esta elipse tiene un área $\pi a b (1-(z/c)^2)$ . La masa de una rebanada de espesor $dz$ a esa altitud es por tanto $dm=\pi a b (z^2 - z^4/c^2)dz$ . El $z$ -La coordenada del centro de masa es $$ M_z=\frac{\int_{z=0}^{z=c}zdm}{\int_{z=0}^{z=c} dm}=\frac{\int_{0}^{c}(z^3-z^5/c^2)dz}{\int_{0}^{c}(z^2-z^4/c^2)dz}=\frac{\frac{1}{4}c^4-\frac{1}{6c^2}c^6}{\frac{1}{3}c^3-\frac{1}{5c^2}c^5}=\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}c=\frac{5}{8}c. $$

Answer 3

$\newcommand{\+}{^{\dagger}}% \newcommand{\angles}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\down}{\downarrow}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \atop {= \atop \vphantom{\huge A}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\half}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,}% \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert}$ \begin{align} \color{#00f}{\large\vec{R}_{\rm cm}}&\equiv\left. {\ds{\int z^{2}\pars{x\hat{x} + y\hat{y} + z\hat{z}}\,\dd x\,\dd y\,\dd z} \over \ds{\int z^{2}\,\dd x\,\dd y\,\dd z}} \right\vert_{{x^{2} \over a^{2}}\ +\ {y^{2} \over b^{2}}\ +\ {z^{2} \over c^{2}}\ <\ 1 \,,\ z\ >\ 0} \\[1cm]&= \left.{\ds{\int z^{3}\,\dd x\,\dd y\,\dd z}\over \ds{\int z^{2}\,\dd x\,\dd y\,\dd z}}\,\hat{z} \right\vert_{{x^{2} \over a^{2}}\ +\ {y^{2} \over b^{2}}\ +\ {z^{2} \over c^{2}}\ <\ 1 \,,\ z\ >\ 0} \\[1cm]&=\left.{\ds{\verts{abc^{4}}\int z^{3}\,\dd x\,\dd y\,\dd z} \over \ds{\verts{abc^{3}}\int z^{2}\,\dd x\,\dd y\,\dd z}}\,\hat{z} \right\vert_{x^{2}\ +\ y^{2}\ +\ z^{2}\ <\ 1\,,\ z\ >\ 0} =\left.{\ds{\int z^{3}\,\dd x\,\dd y\,\dd z} \over \ds{\int z^{2}\,\dd x\,\dd y\,\dd z}}\ \verts{c}\,\hat{z} \right\vert_{r\ <\ 1\,,\ z\ >\ 0} \\[1cm]&={\ds{2\pi\int_{0}^{1}\dd r\,r^{5}\int_{0}^{\pi/2}\dd\theta\,\sin\pars{\theta}\cos^{3}\pars{\theta}} \over \ds{2\pi\int_{0}^{1}\dd r\,r^{4}\int_{0}^{\pi/2}\dd\theta\,\sin\pars{\theta}\cos^{2}\pars{\theta}}}\ \verts{c}\,\hat{z} ={5 \over 6}\,{\ds{\int_{0}^{1}\xi^{3}\,\dd\xi}\over \ds{\int_{0}^{1}\xi^{2}\,\dd\xi}}\ \verts{c}\,\hat{z} =\color{#00f}{\large{5 \over 8}\,\verts{c}\,\hat{z}} \end{align}