En topología, podemos construir $\mathbb{CP}^\infty$ directo como límite de $\cdots\rightarrow \mathbb{CP}^n \rightarrow \mathbb{CP}^{n+1}\rightarrow \cdots$ con la incorporación dada por $[x_0: x_1: x_2: x_3: \cdots: x_n] \mapsto [x_0: x_1, x_2: x_3: \cdots: x_n: 0]$.
Hay una construcción similar de un infinito-dimensional versión de proyectiva del espacio como un esquema?
Una elección natural sería $\text{Proj } \mathbb{C}[x_0, x_1, \ldots]$, pero esto no acaba de funcionar. Este anillo es el límite de $\mathbb{C}[x_0, x_1, \ldots, x_n] \rightarrow \mathbb{C}[x_0, x_1, \ldots, x_{n+1}]$ natural, inclusiones, por lo que el correspondiente proyectiva esquema debe ser el límite inversa de la $\mathbb{CP}^n$. (Esto no es del todo cierto ya que los mapas no son en realidad los mapas graduales de los anillos, y sólo inducen racional de los mapas en los espacios proyectivos, pero al menos funciona en el afín categoría: $\text{Spec } \mathbb{C}[x_0, x_1, \ldots]$ es una variedad más de $\mathbb{C}$ con puntos arbitrariamente secuencias infinitas de números en $\mathbb{C}$, que es la inversa en vez de directamente del límite de los afín espacios).
¿Qué pasa si tomamos $\text{Proj } R$ (o si es más fácil, $\text{Spec } R$), donde $R$ es el límite inversa de $\mathbb{C}[x_1, \ldots, x_{n+1}] \rightarrow \mathbb{C}[x_1, \ldots, x_n]$ dado por $x_{n+1} \mapsto 0$?
A la inversa del sistema se corresponde con el sistema directo de $\mathbb{CP}^n$ anterior, pero tal vez el límite de no dar bastante la cosa correcta.
El MO post aquí se describe este problema, mencionando por qué $\text{Proj } \mathbb{C}[x_0, \ldots]$ no funciona, pero no dice qué va mal cuando tome $\text{Proj } R$
EDITAR creo $R$ puede ser descrito de la siguiente manera: elementos de la $R$ son infinitas sumas de monomials finito de grados de la $x_i$, tal que para cualquier $n$, el conjunto de no-cero términos relacionados con la $x_1, \ldots, x_n$ es finito.
