Historia de la función de eta de Dedekind

Question

¿Cuál es la historia de los comienzos de la Dedekind eta función? En particular, ¿por qué se llama el Dedekind eta función? Ramanujan papel, el 24 de alimentación de la Dedekind eta función que se le había aparecido en 1916, y tengo una razonablemente buena comprensión de lo que sucedió después de que, en la otra dirección, sé que por 1775 Euler había considerar la Dedekind eta de la función dividida por q^1/24 en su obra que llevó a la pentagonal número teorema, pero lo que pasó entre Euler y Ramanujan que condujo a la introducción del factor de q^1/24 (lo que da una media entero de peso de forma modular) y la fijación de Dedekind del nombre?

Answer 1

Tal vez libro de Vladut da info en eso, el viejo Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften generalmente contienen información detallada, entonces hay libros de historia de Klein y 2 vol.s de Klein/Fricke sobre funciones modulares.

Answer 2

Después de buscar he encontrado algunas referencias relevantes:

H. Rademacher y A. Whiteman, "Teoremas de Dedekind sumas" Amer. J. Math. 63 (1941), 377-407.

Arias-de-Reyna, J. Riemann fragmento relativa a los valores límite de elípticas modulares funciones. Ramanujan J. 8 (2004), no. 1, 57--123.

Dedekind del informe se titula "Erlauterungen zu den vorstehenden Fragmenten", y fue publicado publicado en Riemann, obras completas. En este trabajo Dedekind se intenta dilucidar Riemann, "Fragmentos de uber die Grenzfalle der Elliptischen Modulfunctionen,"

Parece que Dedekind la introducción de la función de eta se inspiró en estas notas fragmentarias de Riemann. Me llevaría algo de tiempo para analizar las cuestiones pertinentes (por ejemplo, en qué medida lo hizo Riemann saber el Dedekind función de eta, ¿cómo podrían las cosas parecen Dedekind, etc.) y no voy a hacerlo en el momento, pero estoy feliz de haber encontrado estos para referencia en el futuro.

Answer 3

Creo que Dedekind introducido en el siglo 19 en relación a las funciones elípticas y se expresa en términos de lo que ahora es conocido como Dedekind sumas. A pesar de que tanto la función de Euler y la eta de la función son simétricas en el sistema modular de grupo, que hayan sido estudiados en los diferentes contextos donde Dedekind s sería considerada la más directamente relacionada con las formas modulares.

En el pentagonal número teorema, no hay ninguna suposición o el uso de $x = e^{2\pi i z}$ en su función de $\prod_n (1-x^n)$, y tal vez no fue considerado en relación a elíptica funciones o formas modulares en el tiempo. Por supuesto, la generalización de la pentagonal número es el teorema de la triple fórmula de producto que está muy relacionado con la theta funciones y las formas modulares así.

Si observa en el artículo de la wikipedia para la función de Euler, mencionar que los dos están relacionados por una "Ramanujan la identidad".

Answer 4

Creo que Dedekind introdujo esta función en Schreiben un Herrn Borchardt über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen que fue publicado en el Diario de Crelle en 1877. Las referencias completas se Journal für reine und angewandte Mathematik, 83 (1877) 265-292 y es reproducido en el volumen 1 de su colección de obras con un postscript por Fricke, explicando que este trabajo seguía siendo en gran parte desconocido por algún tiempo. Él también cita un artículo posterior de F. Klein con solapamiento sustancial.

La correspondiente ecuación en el papel es la ecuación (24). Justo después de que él se lamenta de su falta de suerte en la búsqueda de la expresión explícita de la función de eta a partir de la definición o sin el uso de la teta de funciones:

Allein es ist mir bisher nicht geglückt, diese Darstellung von $\eta(\omega)$ ela explizite Funktion von $\omega$ lediglich aus ihrer obigen Definición, también ohne die Hilfe der Theorie der $\vartheta$-Funktionen abzuleiten.