Dado que$(X_n)_{n\geq 0}$ es una cadena de Markov, compruebe que$(X_{kn})_{n\geq 0}$ es una cadena de Markov

Question

Dado que el $(X_n)_{n\geq 0}$ es una Cadena de Markov, demostrar que $(X_{kn})_{n\geq 0}$ es una Cadena de Markov.

No sé lo que este ejercicio ha sido tan difícil para mí, he estado jugando con la definición y de sus consecuencias, de un tiempo a ahora, sin ser capaz de demostrarlo:

Por definición, sé que $P(X_{n+1}\;|\;X_0,...,X_n)=P(X_{n+1}\;|\;X_n)$, y quiero mostrar que la $P(X_{k(n+1)}\;|\;X_0,...,X_{kn})=P(X_{k(n+1)}\;|\;X_{kn})$. Hay una escuela primaria manera de utilizar esta información y conocimientos básicos de cómo manipular algebraicamente probabilidades condicionales, para demostrar lo que quiero demostrar? O necesito más información acerca de las cadenas de Markov para hacer este problema?

Answer 1

Si$A$ es la matriz estocástica para la cadena de Markov dada, entonces$A^k$ es la matriz para la subsecuencia en cuestión. ¿Por qué es$A^k$ también una matriz estocástica?

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Alternativamente, muestre por inducción que para una cadena de Markov$$ P(X_{n+1}|X_{i_1},\ldots ,X_{i_k})=P(X_{n+1}|X_i)$ $ donde$0\le i_1,\ldots, i_k\le n$ y$i=\max\{i_1, \ldots, i_k\}$.

Answer 2

Un buen primer paso a la hora de hacer un problema de matemáticas es para escribir lo que estás tratando de mostrar.

Sabemos que el proceso de $\left(X_n\right)_{n\ge0}$ es una cadena de Markov, entonces sabemos que:

$$ \mathbb{P}(X_{n+1} = i_{n+1}|X_n=i_n,\dots X_0=i_0)=\mathbb{P}(X_{n+1}=i_{n+1}|X_n=i_n) $$

(puede omitir el $(\lambda, P)$ representación por ahora, si quieres).

Ahora usted necesita mostrar que $(X_{kn})_{n\ge0}$ es una cadena de Markov para cualquier $k$. Entonces usted necesita para comprobar la condición de Markov de nuevo. Escrito $Y_n=X_{kn}$, ahora debemos demostrar que:

$$ \mathbb{P}(Y_{n+1} = i_{n+1}|Y_n=i_n,\dots Y_0=i_0)=\mathbb{P}(Y_{n+1}=i_{n+1}|Y_n=i_n) $$

I. e.:

$$ \mathbb{P}(X_{kn+k} = i_{n+1}|X_{kn}=i_n,\dots,X_0=i_0)=\mathbb{P}(X_{kn+k} = i_{n+1}|X_{kn}=i_n) $$

No voy a decirte exactamente cómo hacer la pregunta, excepto a insinuar que se trata de dos usos de la inducción matemática. (La segunda parte de Hagen respuesta es una muy buena manera de hacer el problema, pero usted debe tratar de hacerlo de una forma más rutinaria. ¿Cómo se puede demostrar que la propiedad tiene al $n=0$? Y ¿cómo podría usted mostrar el uso de la inducción que para $n>0$?) Déjeme saber si usted tiene problemas graves de resolverlo.

Answer 3

Creo que solo necesitas usar la propiedad independencia de Markov:$X_0, X_1,...,X_m$ es independiente de$(X_{m+n})_{n\geq 0}$ con respecto a la probabilidad$\mathbb{P}_{[X_m=i]}$. En este caso, siga ese$$\mathbb{P}[X_{kn}=i_n|X_{(n-1)k}=i_{n-1},...,X_0=i_0]=$$ $$=\mathbb{P}_{[X_{(n-1)k}=i_{n-1}]}[X_{kn}=i_n|X_{(n-2)k}=i_{n-2},...,X_0=i_0]$$ $$=\mathbb{P}_{[X_{(n-1)k}=i_{n-1}]}[X_{kn}=i_n]$$ by independece. And the last quantity is $ p ^ k (i_ {n-1}, i_n) $.