¿La función$f(x) = |x|$ es convexa?

Question

Me pregunto porque algunas páginas de Internet se contradicen. En la Wikipedia, la definición que he encontrado de un convexo de la función es:

"Vamos a $X$ ser un conjunto convexo en un espacio vectorial real y deje $f: X \to R$ ser una función.

• $f$ se llama convexo si:

Para todos los $x_1\ne x_2 \in X$, y para todos los $t\in (0,1): f(t x_1 + (1-t)x_2 ) \le tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$.

• $f$ se llama estrictamente convexa si:

Para todos los $x_1\ne x_2 \in X$, y para todos los $t \in (0,1) : f(t x_1 + (1-t)x_2 ) < tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$."

De acuerdo a esta definición, la función $f(x) = |x|$ es convexa, pero en otra página dicen que no se puede hablar de la concavidad de $|x|$ porque no es diferenciable en $x=0$. Sé que si $f''(x) \gt 0$ para todos los $x$, entonces la función es convexa, pero mi tio es que esto es un "si y sólo si".

Puedo usar $f^{\prime \prime}(x)$ a definir la concavidad de una función?

Por otra parte, no estoy seguro de si una función constante es tanto cóncavas y convexas. Este es un problema conceptual. Me gustaría saber en que libro puedo comprobar si la distinción entre la concavidad y la estricta concavidad es válido, porque no me fío de sitios como Wikipedia.

Answer 1

Su condición es un poco apagado. Una función es convexa si $f''(x)\geq 0$ para todos los $x$. Así que sí, una función constante sería tanto cóncavas y convexas (pero no estrictamente convexa).

Para mostrar que $f(x)=|x|$ es convexa, tenga en cuenta que por la desigualdad de triángulo

$$f(tx_1+(1-t)x_2)=|tx_1+(1-t)x_2|\leq|tx_1|+|(1-t)x_2|=tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$$

$f(x)$ no es diferenciable en $x=0$, pero esto está bien. El teorema establece que si $f$ es dos veces diferenciable y convexa $f''(x)\geq 0$. También tenga en cuenta que $f''(x)\geq 0$ para todos los $x$ donde $f''(x)$ está definido.

La convexidad es una condición geométrica. Pensar de una forma convexa. Si la gráfica es una forma convexa, entonces se llama a la función convexa. Esta es una manera mucho más visual y natural manera de pensar de ella.

El uso de esta forma geométrica idea, si de la esquina, en $x=0$ fue ligeramente redondeada y por lo tanto diferenciable, todavía estaría en la misma forma, básicamente. Este geométricas idea es probablemente la mejor manera de mirarlo.

Edición de comentarios:

Estrictamente convexa o de convexa, piensa si hay líneas rectas o no. De nuevo geométricamente es la mejor manera de ver estas cosas. Pensar acerca de la función de $f(x)=x$. A continuación,$f''(x)=0$. Este es convexa, pero no es estrictamente convexa.

Geométricamente, una función es convexa si el área por encima de la gráfica es convexa (y lo que es equivalente, el área debajo de la gráfica es cóncava) y cóncava si la zona de arriba es cóncava (área bajo es convexo). Así que pensando en esto geométricamente, una función es estrictamente convexa si tiene un convexo área por encima y no convexos área debajo de la gráfica. Esto sucede cuando hay líneas.