Identificar el tallo del punto general de un esquema integral con el campo de fracciones de cualquier afín abierto

Question

Deje $X$ ser un esquema integral y $\eta$ su punto general. A continuación, podemos identificar a $\mathcal O_{X,\eta}$ con $FF(A)$ donde $\operatorname{Spec} A$ es abierto afín de $X$, debido a $\eta$ vive en todos los abiertos afines. Pero ¿cómo podemos extender cualquiera de las $f \in FF(A)$ a una función en el conjunto de la $X$, es decir, a un elemento de $\mathcal O_{X,\eta}$?

No estoy seguro de cómo llevar a cabo esto de manera algebraica, porque no sé en qué forma debo escribir $\mathcal O_{X,\eta}$. Cuando me pongo a pensar geométricamente, por lo menos sé que no soy la ampliación de $f$ a algo más grande que el cierre de $\operatorname{Spec} A$ porque $X$ es irreductible. Pero, ¿realmente basta con que no soy la ampliación de una función fuera de la clausura de su dominio? Puedo extender siempre una función para el cierre de su dominio de definición de la geometría algebraica? (aquí me refiero a la función, en el sentido de un elemento de la gavilla de los anillos, no como una función que debe tener siempre un no "1/0 valor")

He trabajado por $\Bbb P^n$ y por lo menos tengo las mismas respuestas. Para $X=\Bbb P^n$, el punto general $\eta$ es sólo el cero ideal en $k[x_0,...,x_n]$. Así, obtenemos $\mathcal O_{X,\eta} = k(x_0,...,x_n)_0 \cong k(x_1,x_2,...x_n)$ por el dehomogenizing mapa de $-$cociente por $(x_0-1)$. Por otro lado, si tomamos algunas afín a abrir $\operatorname {Spec} A$ tal que $A =k[x_0/x_0,x_1/x_0...,x_n/x_0]/(x_0/x_0-1)$, también conseguimos $\eta = (0)$ e $\mathcal O_{\operatorname{Spec} A,\eta} = k(x_1/x_0,x_2/x_0,...,x_n/x_0)$.

Answer 1

Si $X=\mathrm{Spec}(A)$ es el espectro de un dominio $A$, con $\eta=(0)$ el genérico punto de $X$, entonces la igualdad de $\mathscr{O}_{X,\eta}=A_{(0)}=\mathrm{Frac}(A)$ está incorporado en la definición de la estructura de la gavilla de $X$.

En general, para $X$ cualquier régimen y $U\subseteq X$ abierto subscheme, para cualquier $x\in U$, el mapa de $\mathscr{O}_{X,x}\rightarrow\mathscr{O}_{U,x}$ inducida por el abierto de inmersión $U\hookrightarrow X$ es un isomorfismo, por lo que los tallos pueden ser `calculada" en subscheme. Ahora si $X$ es integral con el genérico punto de $\eta$ e $U=\mathrm{Spec}(A)$ es un afín a abrir, a continuación, $\eta\in U$ y tenemos $\mathscr{O}_{X,\eta}=\mathscr{O}_{U,\eta}=\mathrm{Frac}(A)$. Elementos de $\mathscr{O}_{X,\eta}$ son clases de equivalencia de pares de $(f,V)$ donde $V\subseteq X$ es abierto y $f\in\mathscr{O}_X(V)$. En particular, cualquier elemento $f\in A=\mathscr{O}_X(U)$ da lugar a la equivalencia de la clase de $(f,U)$ en $\mathscr{O}_{X,\eta}$, que se identifica con la imagen de $f$ bajo la inyección canónica $A\hookrightarrow\mathrm{Frac}(A)$ bajo la identificación de arriba. Pero no hay ninguna razón por la que un elemento de $\mathscr{O}_{X,\eta}$ debe provenir de una sección global de $X$.

Tal vez te refieres a que un elemento de $\mathscr{O}_{X,\eta}$ debe provenir de una sección global de $U$, es decir, de un elemento de $A$? Pero usted no debe esperar a que este bien, porque el mapa de $A\hookrightarrow\mathrm{Frac}(A)$ no es surjective menos $A$ es ya un campo.