He escuchado mucho acerca de este número e. ¿Por qué es tan importante? ¿Cómo encaja en el panorama de las matemáticas? ¿Cómo se calcula y usa?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Matt Dawdy
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Uno podría fácilmente escribir libros completos sobre este tema, y creo que la única manera para apreciar correctamente la respuesta es solo para aprender un montón de matemáticas. Pero voy a mencionar una perspectiva que sugiere que $e$ debe ser fundamental para las matemáticas.
Esta es la perspectiva de groupoid cardinalidad. La definición de un groupoid es un poco técnico, pero para los propósitos de esta discusión un groupoid es una colección de grupos. En muchos recuento de los problemas que afectan a grupos resulta ser natural no contar todos los objetos en juego, sino para dividir cada objeto por el número de simetrías que tiene. Por ejemplo, si dibuja cinco puntos en una línea en un papel y luego doblar el papel por la mitad a través de medio punto, dos pares de puntos que se han identificado y un punto tiene un medio identificado con la otra mitad; en otras palabras, el plegamiento de la simetría se ha cortado el punto medio en la mitad, así que uno podría decir que ahora tenemos a $\frac{5}{2} = 2 + \frac{1}{2}$ puntos.
Esta es la idea básica detrás de groupoid cardinalidad: la cardinalidad de un groupoid es la suma de $\sum_x \frac{1}{|\text{Aut}(x)|}$, donde la suma se ejecuta durante todo el isomorfismo de las clases de objetos de la groupoid (aquí, por encima de todos los grupos en la colección, donde $|\text{Aut}(x)|$ es el tamaño del grupo correspondiente). Todos los grupos aquí son finitos.
Ahora aquí es la parte fundamental de la declaración.
El groupoid cardinalidad de la groupoid finito de conjuntos (por ejemplo, la colección de grupos simétricos $S_1, S_2, ...$)$e = \sum_{n \ge 0} \frac{1}{n!}$.
En otras palabras, $e$ alguna manera encarna una propiedad fundamental de los conjuntos finitos. Es posible pensar acerca de toda la teoría de las exponenciales funciones de generación de esta manera, en particular a pensar acerca de $e^x$ y sus derivados de la propiedad de esta manera. Parte de esta historia se describe, creo, en Juan Báez es el Cuento de Groupoidification.
Uno de los más formas concretas de pensar acerca de la relación entre los grupos simétricos y $e$ es a través de la generación de esta función. La identidad se describe en la entrada en el blog, que a veces va por el nombre de la "fórmula exponencial", explica, entre muchas muchas otras cosas, por qué la probabilidad de que una permutación de un conjunto grande no tiene puntos fijos es acerca de $\frac{1}{e}$.
Matthew Ruston
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Una de las primeras exposiciones los estudiantes tienen que $e$ es en la fórmula de interés simple compuesto continuamente: $$A = Pe^{rt}$ $
Esta fórmula puede derivarse fácilmente de la fórmula de interés simple compuesto discretamente: $$A = P(1 + \frac{r}{n})^{nt}$ $
La derivación depende de la identidad $$e = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$ $
Así que aunque puede que no sea la aplicación más importante, es una manera en que $e$ se utiliza y se calcula.
doekman
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Matti Pastell
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Hay una muy buena conferencia La Función Exponencial por Gilbert Strang en el MIT open Courseware y un artículo relacionado con la Introducción de $e^x$. Y toda la serie de conferencias de Destacados de Cálculo es muy buena!
David HAust
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La ubicuidad de las $e$ proviene de la ubicuidad de $e^x$. Y $e^x$ está en todas partes, debido al hecho de que permite resolver cualquier orden superior LDE con coeficientes constantes - ya sea por la factorización de su operador diferencial sobre $\mathbb C$ en los lineales de los factores, o mediante su conversión en sistema lineal la forma y el uso de la matriz de las exponenciales. Ver la exposición por Arnold a continuación, a partir de su hermoso libro "ecuaciones diferenciales Ordinarias". Como Arnold dice: "la exponencial ... da la solución de todas las ecuaciones diferenciales bastante general"
