Aproximando$\pi$ usando la integración de Monte Carlo

Question

Estoy tratando de aproximarse $\pi$ usando Monte Carlo integración; yo soy la aproximación de la integral

$$\int\limits_0^1\!\frac{4}{1+x^2}\;\mathrm{d}x=\pi$$

Esto está funcionando bien, y así es la estimación del error (varianza), $\sigma$. Sin embargo, cuando yo intente usar la importancia de muestreo con un Cauchy(0,1) de distribución, las cosas empiezan a ir mal:

$$\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n\frac{f(x_i)}{p(x_i)}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n\frac{\frac{4}{1+x^2}}{\frac{1}{\pi(1+x^2)}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n\frac{4\pi(1+x^2)}{1+x^2}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n4\pi=4\pi$$

Obviamente algo anda mal, ya que la media se calcula de forma independiente de las variables aleatorias puedo generar. Donde se esta pasando mal? Es la distribución demasiado cerca de $f$?

Answer 1

Este es un error común cuando se hace de Monte Carlo de la integración. El apoyo de la variable aleatoria que usted elija debe ser igual al intervalo de integración. A pesar de que la distribución de Cauchy tiene soporte en $\mathbb{R}$ podemos adaptar ligeramente para hacer que funcione aquí.

Tenga en cuenta que: $\int_0^1 \frac{1}{\pi(1+x^2)} dx = \frac{1}{\pi}\tan^{-1}(1)=\frac{1}{4}$

Por lo tanto $g(x) = \frac{4}{\pi(1+x^2)}$ para $x\in(0,1)$ es una densidad de probabilidad, con el apoyo de $(0,1)$.

el uso de este tenemos

$\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n \frac{f(x_i)}{g(x_i)} = \pi$

Esto no es un problema! Desde $g(x) = \frac{1}{\pi}f(x)$ has encontrado exactamente el derecho de distribución de probabilidad a utilizar para evaluar $\int_0^1f(x)dx$! El error es cero para cualquier tipo de muestra, independientemente del tamaño.

Nota sin embargo, necesitaba saber cómo integrar la $\int_0^1\frac{1}{\pi(1+x^2)}$ en el primer lugar a la forma de la distribución de probabilidad. Por lo tanto para funciones arbitrarias es imposible llegar a esta situación.

También se nota el Monte Carlo no es una muy buena manera de aproximar las integrales en general. Mucho mejor los métodos determinísticos son reglas de cuadratura.