Resumiendo la serie $\sum_{n=0}^\infty C_{2n}^n r^{2n} $

Question

Aquí $|r|<1/2$, por lo que la serie converge.

Puedo hacerlo mediante el uso de contorno inregration.

$$ S =\sum_n r^{2n} \frac{1}{2\pi i } \oint_C \frac{1}{z}(z+ \frac{1}{z})^{2n} dz \\ = \frac{1}{2\pi i } \oint_C \frac{1}{z} r^{2n} (z+ \frac{1}{z})^{2n} dz \\ = \frac{1}{2\pi i } \oint_C \frac{1}{z} \frac{1}{1 - r^2 (z+1/z)^2} dz . $$

Aquí $C$ es el círculo unitario en el plano complejo.

No es tan tedioso para obtener el resultado final, que es $1/\sqrt{1-4r^2 }$.

Sin embargo, ¿alguien puede dar una solución?

Answer 1

Podemos utilizar el binomio de expansión de la serie. Para ello recordamos el binomio identidad \begin{align*} \binom{2n}{n}=(-4)^n\binom{-\frac{1}{2}}{n}\tag{1} \end{align*} y obtener \begin{align*} \color{blue}{\sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n}r^{2n}}&=\sum_{n=0}^\infty (-4)^n\binom{-\frac{1}{2}}{n}r^{2n}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\binom{-\frac{1}{2}}{n}(-4r^2)^n\\ &=\left(1-4r^2\right)^{-\frac{1}{2}}\\ &\,\,\color{blue}{=\frac{1}{\sqrt{1-4r^2}}} \end{align*}

La identidad (1) es válida, dado que tenemos \begin{align*} \color{blue}{(-4)^n\binom{-\frac{1}{2}}{n}}&=(-4)^n\frac{1}{n!}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\cdots\left(-\frac{1}{2}-(n-1)\right)\\ &=\frac{2^n}{n!}(2n-1)!!\\ &=\frac{2^n}{n!}\frac{(2n)!}{(2n)!!}\\ &=\frac{2^n}{n!}\frac{(2n)!}{2^nn!}\\ &=\frac{(2n)!}{n!n!}\\ &\,\,\color{blue}{=\binom{2n}{n}} \end{align*}