Por qué no funciona para el ejercicio Rudin 3.8

Question

El problema es el ejercicio de 3,8 en el bebé Rudin:

Si $ \sum{a_n} $ converge y $\{b_n\}$ está acotada y es monótona, demuestre que $\sum{a_nb_n}$ converge.

¿Por qué no puedo hacer esto?

Dejemos que $M$ sea un límite superior de $\{b_n\}$ . Elija $N$ tal que para todo $n,m\ge N$ , $$ \sum_{k=n}^m{a_k} \le {\epsilon \over M}$$

Entonces, $$\sum_{k=n}^m{a_kb_k} \le M\sum_{k=n}^m{a_k} \le \epsilon $$

Si alguien tiene una prueba rápida y clara para esto, me encantaría verla también. Gracias de antemano.

Answer 1

Necesidad de utilizar la monotonicidad

Ya que no utilizó la monotonicidad de $b_n$ , necesitarías saber que la suma converge absolutamente para que tu argumento funcione. Tomemos por ejemplo $$ a_n=\frac{(-1)^{n-1}}n $$ y $$ b_n=1+(-1)^{n-1} $$ La suma de $a_n$ es una serie convergente bien conocida: $$ \sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n=\log(2) $$ Sin embargo, como $b_n=0$ para incluso $n$ y $b_n=2$ para impar $n$ tenemos que $$ \sum_{n=1}^\infty a_nb_n=\sum_{n=1}^\infty\frac2{2n-1} $$ que diverge en comparación con la serie armónica.

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Uso de la monotonicidad

Desde $b_n$ está acotado y es monótono, sea $b_\infty=\lim\limits_{n\to\infty}b_n$ . Además, como $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ converge, está acotado independientemente de $n$ .

Así, tenemos que $$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty a_nb_n &=\underbrace{\sum_{n=1}^\infty a_n(b_n-b_\infty)}_{\text{converges by Dirichlet's Test}}+\underbrace{b_\infty\sum_{n=1}^\infty a_n}_{\substack{\text{constant multiple of}\\\text{a convergent series}}} \end{align} $$ converge.

Answer 2

Mientras que la forma correcta de demostrar la convergencia de $\sum a_{n}b_{n}$ es la proporcionada por la respuesta de robjohn, me gustaría señalar el fallo en su argumento. Empiezas correctamente pero tienes que utilizar los valores absolutos. Así, si $|b_{n}| \leq M$ para todos $n$ y $\epsilon > 0$ podemos elegir un número entero positivo $n_{1}$ tal que para todos los enteros $m > n \geq n_{1}$ tenemos $$\left|\sum_{k = n}^{m}a_{k}\right| < \frac{\epsilon}{M}\tag{1}$$ Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que diciendo $$\sum_{k = n}^{m}|a_{k}| < \frac{\epsilon}{M}\tag{2}$$ Ecuación $(2)$ implica la ecuación $(1)$ pero $(1)$ no implica $(2)$ debido a la norma desigualdad del triángulo $$\left|\sum_{k = n}^{m}a_{k}\right| \leq \sum_{k = n}^{m}|a_{k}|\tag{3}$$ Ahora podemos ver que $$\left|\sum_{k = n}^{m}a_{k}b_{k}\right| \leq \sum_{k = n}^{m}|a_{k}b_{k}| \leq M\sum_{k = n}^{m}|a_{k}|$$ y tu argumento funcionaría si la ecuación $(2)$ retiene. Pero lamentablemente la ecuación $(1)$ en lugar de la tan necesaria ecuación $(2)$ y por lo tanto su argumento es defectuoso y no conduce a una prueba correcta.