Un "grupo" con dos operaciones binarias que se interrelacionan

Question

Estoy trabajando con una especie de grupo que contiene no una, sino dos, operaciones binarias. Llamémoslas $+$ y $*$ . Para cualquier operación, el grupo tiene una identidad común, $e$ y cada elemento tiene un inverso.

Puedo demostrar que estas operaciones son asociativas, no sólo dentro de sí mismas, sino entre sí. Por ejemplo, $$(a+b)*c=a+\left(b*c\right)$$ .

Si no se trata de un grupo, ¿cómo se llama el tipo de álgebra con el que estoy tratando? ¿Por qué parece que este tipo de grupos no ha recibido mucha atención?

Mi pregunta está relacionada con el de aquí excepto que mi caso tiene todas las propiedades de un grupo (asociatividad, identidad e inversa). En otras palabras, si no permitiera $*$ o $+$ seguiría teniendo un grupo.

Answer 1

Llamemos a estos $+$ y $*$ . Para cualquier operación, el grupo tiene un identidad común , $e$ y cada elemento tiene un inverso.

Entonces $+=\ast$ porque $a\ast c=(a+e)\ast c = a+(e\ast c)=a+c$ por cada $a,c$ .