Yo estaría muy agradecido si alguien pudiera verificar si mi prueba a continuación es correcta.
Muchas gracias.
Teorema. $\,$ Deje $(b_k)$ ser un reordenamiento de la secuencia compleja $(a_k)$. Si $\sum_{k\geq 0}a_k = s$, y es absolutamente convergente, entonces $\sum_{k\geq 0}b_k = s$.
Prueba. $\,$ Deje $\varepsilon>0$ ser dado. Elija $n\geq 0$ tal que
$$\sum_{k=n+1}^\infty|a_k|<\varepsilon.$$
Elija $N\geq 0$ tal que
$$\{a_1,\ldots,a_n\}\subseteq\{b_1,\ldots,b_N\},$$
Entonces, para cualquier $m\geq N$, tenemos que
$$\sum_{k=0}^{\infty}a_k-\sum_{k=0}^mb_k=\sum_{k\in A_m}a_k.$$
donde $A_m=\{n+1,n+2,\ldots\}\setminus\{\text{finitely many points}\}$.
Por lo tanto, para cualquier $m\geq N$, se deduce que
$$\left|\sum_{k=0}^{\infty}a_k-\sum_{k=0}^mb_k\right|\leq\sum_{k=n+1}^\infty|a_k|<\varepsilon.$$
Esto es lo que estaban obligados a probar.
