Encontrar $a$ darse algunas condiciones adicionales

Question

El problema es:

Si $x+y+z=3$ e $xy+xz+yz=a$ donde $a$ es un número real, encontrar $a$ si la diferencia entre el máximo y el mínimo valor de $x$ es $8$.

Así que lo que hice fue usar Vieta las ecuaciones para obtener el cúbicos

$$k^3-3k^2+ak+c$$

donde las soluciones $k$ de este cúbico es igual a $x$, $y$, y $z$. Tomé la derivada de esta, y se lo llevó a ser cero (para encontrar el valor mínimo y máximo) y me $$3k^2-6k+a=0$$ El resto del problema es fácil a partir de allí, ya que la solución me da dos soluciones en términos de $a$. Si yo luego restar las soluciones y la equiparan a $8$, puedo obtener la respuesta.

Lo que me pregunto es si mi razonamiento para la primera parte es correcta. Es decir, ¿puedo usar Vieta de las fórmulas de la derecha? Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Aha! Yo estaba equivocado! No puedo creer que me tomó este tiempo para darse cuenta de ello, sin embargo.

Si tengo el cúbicos en $k$:

$$k^3-3k^2+ak+c=0$$

y quiero encontrar los valores máximo y mínimo de las raíces, sería inútil para encontrar los valores máximo y mínimo de la función (como lo había hecho en mi "solución")! Que iba a hacer mi trabajo más tarde también inútil.

Bueno, parece que es hora de volver a la mesa de dibujo para mí. Afortunadamente, mi maestro nos está dando una solución en la actualidad.

Gracias de todos modos chicos!