Poincaré disco con la métrica hiperbólica es un espacio métrico

Question

Estoy tratando de demostrar que el disco de Poincaré $D=\left\{ z \in \mathbb{C} : |z|<1 \right\}$ equipado con la métrica hiperbólica dado por $d_{D}(z_1,z_2)=\inf \{ L_{D}(\gamma) \mid \gamma \text { is a continuously differentiable path with endpoints } z_1 \text{ and } z_2 \}$, donde $L_{D}(\gamma)=\int_\gamma \frac{2}{(1-\lvert z \rvert^2)} \lvert dz \rvert$ es un espacio métrico. El hecho de que $d_{D}(z_1,z_2) \geqslant 0$ y la simetría son obvias y he logrado demostrar que el triángulo de la desigualdad. Pero, ¿cómo $d_{D}(z_1,z_2)=0$ implica que $z_1=z_2$?

Answer 1

Supongamos $z_1 \neq z_2$; deje $\delta$ ser la distancia Euclidiana de $z_1$ a $z_2$. El integrando $\frac{2}{1-|z|^2}$ está acotado abajo por $2$ a $D$, lo $L_D(\gamma) > 2\delta$ cualquier $\gamma$ unirse a $z_1$ e $z_2$. De ello se desprende que $d_D(z_1,z_2) \geq 2\delta > 0$.