Calcular el pdf de una estadística de orden k

Question

Cómo calcular la función de densidad del k -Estadística de orden de una muestra de $X_1, X_2, ..., X_n$ variables aleatorias distribuidas de forma independiente pero no idéntica (es decir, $X_i \sim F_i$ con $F_i\neq F_j$ )? ¿Cuál sería la solución explícita si cada $F_i$ es uniforme en $[m_i,1]$ con $0<m_i<m_{i+1}<...<m_n<1$ ?

Answer 1

Preámbulo

Según los comentarios anteriores, los estadísticos de orden de las distribuciones no idénticas suelen requerir cálculos complicados y, por lo general, arrojan soluciones complicadas, lo que los hace muy adecuados para resolverlos con sistemas de álgebra computacional. No me consta que se puedan derivar generalmente soluciones de forma cerrada en función del tamaño de la muestra $n$ y $k$ -(aunque puede ser posible para su ejemplo)... pero ciertamente se pueden obtener soluciones bastante claras para su problema, dado cualquier valor entero arbitrario para $n$ y $k$ de su propia elección. Voy a seguir el enfoque del álgebra computacional aquí, porque esas herramientas me resultan familiares, y porque hace que un montón de álgebra desordenada no sea necesaria.

El problema

Dejemos que $X_i$ denota una variable aleatoria continua con pdf $f(x; m_i)$ , de tal manera que $(X_1,X_2,\dots,X_n)$ son independientes pero no es idéntico variables debido a los diferentes parámetros $m_i$ , para $i = 1,\dots,n$ . Para la pregunta del OP, tenemos un $Uniform(m,1)$ donde la idoneidad se relaja sustituyendo el parámetro $m$ con $m_i$ , para $i = 1, \dots, n$ . Así, el pdf $f(x; m_i)$ se puede escribir:

Para ilustrar, aquí está el gráfico de la familia de pdf's, cuando $n = 4$ y $m_i = \frac{i}{5}$ .

Solución

Si $X_i$ tiene pdf $f(x; m_i)$ entonces, para cualquier tamaño de muestra $n$ el pdf de la $k$ -El estadístico de orden 1 viene dado por:

$\qquad \qquad$ OrderStatNonIdentical[k, { $f_i$ }, {n}]

donde OrderStatNonIdentical es una función del mathStatica paquete para Mathematica y donde $n$ y $k$ son números enteros. Para la pregunta del OP, en una muestra de tamaño $n = 4$ , el pdf del estadístico de 2º orden más pequeño viene dado inmediatamente por:

A continuación se muestra un gráfico del pdf del estadístico de 2º orden (recién derivado), cuando el tamaño de la muestra es $n=4$ y $m_i = i/5$ :

• Del mismo modo, el pdf de la estadística de tercer orden es:

... y aquí hay una parcela de la misma:

Comprobación de Monte Carlo

Cuando se hace un trabajo simbólico, siempre es buena idea comprobar el trabajo con métodos numéricos, para asegurarse de que no se han introducido errores. He aquí una rápida comprobación de Monte Carlo del $k = 2$ solución del caso derivado anteriormente, de nuevo con $m_i = i/5$ y $n = 4$ . La línea azul discontinua es la pdf empírica (azul), trazada sobre la solución teórica (línea roja discontinua) derivada anteriormente:

Todo parece estar bien :)

Soluciones generales por inducción

Parece posible alcanzar soluciones simbólicas generales por inducción, al menos para las estadísticas de primer y segundo orden. En particular:

• el pdf de la estadística de primer orden, independientemente del tamaño de $n$ tiene forma:

$$\begin{cases} \frac{n(1-x)^{n-1}}{\prod_{i=1}^n (1-m_i)} & m_n < x < 1 \\ \quad \quad \dots & \quad \quad \dots \\ \frac{3(1-x)^2}{(1-m_1)(1-m_2)(1-m_3)} & m_3 < x \leq m_4 \\ \frac{2(1-x)}{(1-m_1)(1-m_2)} & m_2 < x \leq m_3 \\ \frac{1}{1-m_1} & m_1 < x \leq m_2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

• el pdf de la estadística de 2º orden tiene forma

$$\begin{cases} \frac{(n-1)(1-x)^{n-2}}{\prod_{i=1}^n (1-m_i)}(n x-\sum_{i=1}^n m_i) & m_n < x < 1 \\ \quad \quad \dots & \quad \quad \dots \\ \frac{2(1-x)^1}{(1-m_1)(1-m_2)(1-m_3)} (3x-m_1-m_2-m_3) & m_3 < x \leq m_4 \\ \frac{1(1-x)^0}{(1-m_1)(1-m_2)} (2x-m_1-m_2) & m_2 < x \leq m_3 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$