Límites de una probabilidad condicional

Question

Mi amigo me preguntó sobre esto y no pude darle una buena respuesta. Digamos que tienes algún evento favorable $G$ . Usted sabe que conocer cualquiera de los acontecimientos $A$ o $B$ lo más probable es que $G$ . Es decir, $P(G|A) = P(G|B) = .51$ .

¿En qué circunstancias $P(G|A,B) > .51$ ? Es decir, ¿en qué circunstancias conocer tanto $A$ y $B$ juntos, ¿mejor para ti?

Parece intuitivamente razonable, pero también puedo dibujar diagramas de Venn en los que $P(G|A,B) = 0$ .

Answer 1

Supongamos que $\xi$ tiene una distribución uniforme en $[0, 1]$ . Sea el acontecimiento $A$ sea un indicador de $\xi \in [0, 0.7]$ , $B$ = $\xi \in [0.3, 1]$ y $G$ sea $\xi \in [0.2, 0.8]$

De simples argumentos geométricos se deduce que $P(G | A) = 5/7$ y $P(G | B) = 5/7$ mientras que $P(G|A, B) = 1$ (obviamente si $\xi$ es a la vez mayor que 0,3 y menor que 0,7, entonces definitivamente entra en $[0.2, 0.8]$

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Ahora bien, ¿cómo se puede llegar a eso? Tenga en cuenta que $P(G|A)$ puede escribirse en términos de $P(G|A, B)$ : $$ P(G|A) = P(G, B|A) + P(G, \neg B|A) = P(G|A, B) P(B | A) + P(G|A, \neg B) (1 - P(B | A)) $$

Así que $P(G|A)$ es sólo una media de $P(G|A, B)$ y $P(G|A, \neg B)$ con peso $P(B | A)$ . Manipulando este valor se puede controlar la posición de $P(G|A)$ en una gama $$[\min(P(G|A, B), P(G|A, \neg B)), \max(P(G|A, B), P(G|A, \neg B)) ]$$

Esto sugiere que, a menos que la dependencia entre $A$ y $B$ es determinista (es decir, $P(B|A)$ es 0 o 1), $P(G| A, B)$ sería mayor que $P(G|A)$ solo (suponiendo que ambos $A$ y $B$ "trabajo" a favor de $G$ ).

Answer 2

Si esto es cierto, el resultado no es sorprendente y es un poco desordenado. También @Bey tenía la idea correcta probablemente. La reducción de medida pasando de $A$ a $AB$ tiene que ser menor que la reducción que va de $GA$ a $GAB$ que puedes obtener con sólo mirar la desigualdad principal.

Método 1:

Llame a $c_a = P(GAB)/P(GA)$ . Podemos ver que $0 \le c_a \le 1$ porque $GAB \subset GA$ . Mientras $GAB \neq \emptyset$ y $GAB$ es un subconjunto estricto de $GA$ entonces podemos decir $0 < c_a < 1$ .

Entonces supongamos que dado esto $c_a$ , $AB$ es suficientemente menor que $A$ . En otras palabras, $$ P(AB) < \frac{P(GAB)P(A)}{P(GA)} = c_aP(A). $$ Reordenando lo anterior se obtiene el resultado: $$ P(G|A,B) = \frac{P(GAB)}{P(AB)} > \frac{P(GA)}{P(A)} = P(G|A). $$

Método 2:

Sea $d_a = P(AB)/(A)$ . Mientras $AB$ no es imposible y $AB$ es un subconjunto estricto de $A$ alors $0 < d_a < 1$ .

Entonces supongamos $GAB$ es sólo un poco más pequeño que $GA$ dado esto $d_a$ o $$ P(GAB) > d_a P(GA). $$ Entonces también obtenemos el resultado deseado. Y todo esto se puede repetir para encontrar las condiciones para garantizar $P(G|AB) > P(G|B)$ .

Esta fue la intuición original de mi amigo .. que $A$ y $B$ tienen que decirte diferentes cosas sobre $G$ . Supongo que estas son las formas de conseguirlo en lenguaje matemático.

Answer 3

Aunque parezca sencillo, no se puede llegar a la respuesta sólo con lo que se tiene (tu post así lo indica). Volviendo a la definición básica de probabilidad condicional para sucesos no nulos:

$$P(G|A,B)=\frac{P(A \cap B \cap G)}{P(A \cap B)}$$

Sabiendo que $P(G|A)=P(G|B)=0.51$ significa que el conjunto de resultados $G$ cuando $A$ o $B$ ha ocurrido "ocupa" más de la mitad del área de los diagramas de Venn resultantes (para las intersecciones) en cada caso.

Para saber $A$ y $B$ hacer $G$ aún más probable, necesitamos el conjunto de resultados que producen $G$ cuando $A$ y $B$ han pasado a ocupar aún más "superficie". Esto se reduce a encontrar la probabilidad de $G$ cuando restringimos nuestra atención (reducimos nuestro universo) al espacio en el que $A \cap B$ ha ocurrido.

Esto puede sonar como un largo refrito de tu pregunta, pero es el caso general para que tu afirmación sea cierta. @Barmaley.exe dio un buen ejemplo para un escenario específico.

Como puede ver, en ese caso, el "espacio" de resultados donde $G$ ocurrido dado $A \cap B$ era toda la intersección.

En otras palabras, la reducción de la probabilidad de sucesos $A$ y $B$ al acudir al acto $A \cap B$ debe ser mayor que la reducción de la probabilidad de $A \cap G$ o $B \cap G$ a $A\cap B\cap G$ .

Todos dicen lo mismo, $A\cap B\cap G$ debe ocupar proporcionalmente más de la "superficie" $A\cap B$ .