Pregunta básica sobre ceros e ideales

Question

Estos son problemas del libro de Miles Reid "Geometría algebraica subgraduada"

Sea $k$ un campo algebraicamente cerrado.

Pregunta 1.

Sea $I= (xy,xz,yz) \subset k[x,y,z]$. Quiero encontrar $Z(I)$ ok está claro que $I$ es la unión de los tres ejes coordenados, ahora quiero demostrar rigurosamente que cada eje coordenado es cerrado e irreducible. ¿Podemos simplemente decir:

Por ejemplo, el eje z es homeomorfo a $\mathbb{A}^{1}$. Pero cualquier homeomorfismo preserva conjuntos cerrados y conjuntos irreducibles, entonces, como $\mathbb{A}^{1}$ es algebraico (es decir, cerrado) e irreducible, hemos terminado.

Pregunta 2:

Sea $I=(x^{2}+y^{2}+z^{2},xy+xz+yz)$. Identifica $Z(I)$ y $I(Z(I))$.

Estoy confundido con este porque aquí en caso de que el campo sea $\mathbb{R}$, entonces obtenemos $x=y=z$ sin embargo, $\mathbb{R}$ no es algebraicamente cerrado, ¿cómo procedemos?

Ahora estaba pensando en usar la identidad $(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+xz+yz)$, a partir de aquí obtenemos que $x+y+z=0$. Entonces parece que $Z(I)$ es el conjunto de todos los puntos en el plano $x+y+z=0$. ¿Esto está mal? ¿Pero qué pasa si el campo subyacente tiene característica igual a $2$?

Finalmente, ¿cómo encontramos $I(Z(I))$?

Answer 1

Pregunta 1: El eje $z$ es cerrado e irreducible porque es el lugar de ceros $Z(x,y)$ del ideal primo $(x,y)$.

Pregunta 2: No, el lugar de ceros no es el plano $x+y+z=0.
Tu identidad $(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+xz+yz)$ demuestra que puedes escribir $I=(x^{2}+y^{2}+z^{2},xy+xz+yz)=((x+y+z)^{2}-2(xy+xz+yz),xy+xz+yz)$
$=((x+y+z)^{2},xy+xz+yz)$.
Dado que el conjunto de ceros de un polinomio es el mismo que el de sus cuadrados, ves que $Z(I)=Z(I')$ con $I'=(x+y+z,xy+xz+yz)=(x+y+z,xy+(x+y)z)$
$=(x+y+z,xy-(x+y)^2)=(x+y+z,-(xy+x^2+y^2))$

Por lo tanto $Z(I)=Z(I')$ es la intersección del plano $x+y+z=0$ con el cilindro cuadrático$Q$ dado por $x^2+xy+y^2=0$ .
Ese cilindro es un solo plano (con multiplicidad 2) o la unión de dos planos según $char(k)=3$ o $char (k)\neq3$ .
Por lo tanto, $Z(I)$ es una sola (doble) línea si $char(k)=3$ o la unión de dos líneas si $char (k)\neq3$.

El Nullstellensatz te dice que $I(Z(I))=\sqrt I$ donde $I= ((x+y+z)^{2},xy+xz+yz)$.
$\bullet $ Si $char(k)\neq 3$, entonces $\sqrt I=(x+y+z ,\: x^2+y^2+xy) =I'$
$\bullet \bullet$ Si $char(k)= 3$, entonces $ I=((x+y+z)^2 ,\:(x-y)^2)$ [porque $x^2+y^2+xy=(x-y)^2$]
así que $\sqrt I=(x+y+z, x-y)$