Sé que |$\mathbb R$| puede ser cualquier cardenal con cofinaly no es igual a $\aleph_0$. ¿Incluye esto inaccesible cardenales?
Y cuáles serían las consecuencias si|$\mathbb R$| = $\kappa$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Depende de lo que quieres decir con "inaccesible" - fuertemente inaccesibles o débilmente inaccesible.
Desde un fuertemente inaccesible $\kappa$ es, por definición, innumerables y más grande que $2^\lambda$ por cada $\lambda<\kappa$, no podemos tener $\vert\mathbb{R}\vert$ ser fuertemente inaccesible.
Por otro lado, se puede ha $\vert\mathbb{R}\vert$ débilmente inaccesible (es decir, un límite regular cardenal), al menos, suponiendo que la existencia de débilmente inaccesible cardenales es consistente con ZFC. La prueba de que esto es posible, utiliza forzar, pero si ya has visto obligando a continuación, he aquí el esquema:
Supongamos $V$ es un modelo de ZFC con un cardinal inaccesible $\kappa$.
Considere la posibilidad de $L^V$, es decir, $V$'s versión de la edificable universo.
En $L^V$, el Continuum Hipótesis sostiene y $\kappa$ es todavía débilmente inaccesible - tan en $L^V$ tenemos $2^{\aleph_0}<\kappa$.
Ahora nos fuerza: agregar $\kappa$-muchos Cohen reales. Desde esta obligando a es c.c.c., conserva cardenales y cofinalities, por lo $\kappa$ sigue siendo un débil inaccesible cardenal; pero ahora $2^{\aleph_0}=\kappa$. (En realidad, todo lo que es obvio es que el $2^{\aleph_0}\ge\kappa$; toma un argumento, el uso de "agradable nombres," para mostrar que, de hecho, tenemos la igualdad. Esto no es difícil, pero vale la pena señalar.)
Mientras tanto, en la medida de las consecuencias de $2^{\aleph_0}$ siendo débilmente inaccesible ir, yo no soy consciente de que cualquier grande más allá de la obvia (por ejemplo, CH no es cierto).
Algunos comentarios adicionales:
En la prueba de dibujo de arriba, ¿por qué tengo que pasar a$L$, en lugar de trabajar en $V$? Así, podríamos tener en $V$ que $2^{\aleph_0}>\kappa$, en cuyo caso la adición de $\kappa$-muchos Cohen reales no hacer $2^{\aleph_0}=\kappa$. En cambio, si queremos manejar este caso sin ir a la $L$ necesitamos colapso de un cardenal: la fuerza, con el conjunto de parcial mapas de $\kappa$ a $\mathbb{R}$ cuyos dominios se han cardinalidad $<\kappa$. Dado que este es $(<\kappa)$-cerrado, $\kappa$ permanecerá débil inaccesible.
Lo que si intento ejecutar el mismo argumento como el anterior, pero con $\kappa$ fuertemente inaccesible? Bien, ahora, en la última viñeta, necesito argumentar de alguna manera que $\kappa$ sigue siendo fuertemente inaccesible después de forzar, y este se rompe: en concreto, no hay ninguna razón para tener $2^\lambda<\kappa$ para todos los $\lambda<\kappa$ después de la fuerza.
Por último, cabe señalar que no son los sentidos en que $\kappa=\vert\mathbb{R}\vert$ puede "aparecer" fuertemente inaccesible (o más), es decir, mirando a $\kappa$ en un interior modelo $M$ (por ejemplo,$M=L$). Este interior modelo podría ser mucho menor que $V$, y, en particular, podría estar equivocado acerca de cómo el powerset función obras: siempre vamos a tener $(2^\lambda)^M\le (2^\lambda)^V$, pero no necesariamente a la inversa. Así que es totalmente posible tener por ejemplo, " $2^{\aleph_0}$ es fuertemente inaccesible en $L$" (de hecho, esto será cierto siempre que $2^{\aleph_0}$ es débilmente inaccesibles, ya débilmente inaccesible cardenales están fuertemente inaccesible en $L$ desde $L$ satisface la GCH!). Si usted está interesado en la comprensión de cómo las propiedades pueden variar entre un interior de modelo y el modelo general, el término a buscar es "lo absoluto."
