¿Qué precisión sería necesaria?

Question

Según Wikipedia, no se sabe si el número

$$\pi \uparrow \uparrow 4$$

es un número entero.

(Ver Tetración)

¿A qué precisión tendría que calcularse $\pi$ para decidir esto?

El número dado tiene una magnitud aproximadamente

$$10 \uparrow 10 \uparrow 18$$

Answer 1

Escribiendo un código FORTRAN simple, con precisión cuádruple, obtuve que

$\log_{10}(\pi\uparrow\pi\uparrow\pi\uparrow\pi)=666262452970848503.958096488385085\ldots$.

Esto significa que $\lfloor\pi\uparrow\pi\uparrow\pi\uparrow\pi\rfloor$ es un número entero positivo con $N=666262452970848504$ dígitos. Por lo tanto, necesitas aproximar $\pi\uparrow\pi\uparrow\pi\uparrow\pi$ con un error relativo menor que $10^{-N}$ - La mayoría de los cálculos se hacen con un error relativo de $10^{-16}$ a $10^{-32}$.

Answer 2

OK, pero mi pregunta era, ¿qué precisión se necesita para $\pi$?

En realidad, los resultados salen muy parecidos, pero solo por el bien del argumento, uno puede obtener resultados más exactos calculando $(\pi+x)\uparrow\uparrow 4$, en términos de $\pi\uparrow\uparrow 4. Usé las siguientes ecuaciones generales; $\exp(a+x)=\exp(a)(1+x+Ox^2)$, y $\ln(a+x)=\ln(a(1+\frac{x}{a}))=\ln(a)+\frac{x}{a}+Ox^2$. Luego, con un poco de álgebra, tomando el logaritmo y luego el exponencial, se obtiene el siguiente resultado general muy útil:

$$(A+ax)^{B+bx} = A^B(1+x(b\ln(A) + \frac{aB}{A})+Ox^2)$$

Ahora sustituye $A=\pi+x$, $B=\pi+x$.
$$(\pi+x) ^ {\pi + x} = (\pi ^ \pi )(1+x(\ln(\pi) + 1)+Ox^2)$$

Ahora sustituye $A=\pi+x$, $B=\pi^\pi, b=x\pi^\pi(\ln(\pi)+1)$. $$(\pi+x)\uparrow \uparrow 3 = (\pi \uparrow \uparrow 3)(1+x(\pi\uparrow\uparrow2)((1+\ln(\pi)) \ln(\pi)+\frac{1}{\pi}) +Ox^2)$$

Para el próximo paso, las ecuaciones son bastante desordenadas, pero los resultados numéricos son directos y la forma del resultado es la siguiente con $k\approx 3.18357671687997992229145094$

$$(\pi+x)\uparrow \uparrow 4 = (\pi \uparrow \uparrow 4)(1+x(\pi \uparrow\uparrow 3)(\pi\uparrow\uparrow2)k + Ox^2)$$

Ahora, para el número de dígitos obtenemos lo mismo que la otra respuesta, $\log_{10}(\pi\uparrow\uparrow 4) = \log_{10}(\pi) (\pi \uparrow\uparrow 3) \approx 666262452970848503.958$

Y finalmente, para la precisión requerida de $\pi$, uno toma el $\log_{10}$ del coeficiente de x, usando el mismo valor numérico de k como arriba, y luego se obtiene $$\log_{10}((\pi\uparrow\uparrow 4) (\pi\uparrow\uparrow 3) (\pi\uparrow\uparrow 2) k ) = \log_{10}(\pi) (\pi \uparrow\uparrow 3 + \pi \uparrow\uparrow 2 + \pi) + \log_{10}(k) \approx 666262452970848524.150$$

Esto es aproximadamente 20.2 dígitos de precisión adicionales requeridos para $\pi$, que la cantidad de dígitos en $\pi \uparrow \uparrow 4$. Se necesitaría algunos dígitos adicionales de precisión que eso, para calcular varios dígitos decimales adicionales, y verificar que $\pi \uparrow \uparrow 4$ no es un entero exacto.