Linnik del teorema de kth prime en el residuo de la clase

Question

Linnik del theorm dice que para cualquier módulo de $m$, los primos más pequeños en un determinado residuo de la clase de mod $m$ no puede ser demasiado grande: $$ p(a,m)\ll m^L. $$

donde $L$ es una constante que ha sido mejorado por muchos autores (5.18 es el mejor de los resultados publicados, aunque 5 ha sido reclamado). ¿Qué se puede decir acerca de la $k$-ésimo más pequeño prime $\equiv a\pmod m$? Normalmente, me gustaría recorrer el teorema, pero todas las versiones que he encontrado requieren (de manera implícita o de otro tipo) $0\le a<m,$ y, por supuesto, recorrer el teorema puede dar un resultado peor de lo que puede lograrse de otra manera.

Answer 1

Corolario $18.8$ de Iwaniec y Kowalski, el libro de los estados:

Corolario: Si $q$ es lo suficientemente grande, y $x\geq q^L$ absoluto constante$L$,, a continuación, $$\psi(x,q,a)\gg\frac{x}{\phi(q)\sqrt{q}}.$$

Esto implica que para $k\ll \frac{q^{L-3/2}}{\log q}$, la $k^{th}$ primer congruente a $a$ modulo $q$ es $$\ll q^L.$$