Quería saber por qué es así. Solo estoy perdido y quiero una explicación detallada.
Respuestas
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Respuesta corta: La segunda derivada en un punto de inflexión puede ser cero pero también puede ser indefinida.
Respuesta más larga:
Una definición de un punto de inflexión es donde la segunda derivada cambia de signo (de positivo a negativo o viceversa).
El Teorema del Valor Intermedio para derivadas dice que si una derivada está definida en un intervalo cerrado, entonces asume cualquier valor intermedio entre los valores en los puntos finales de ese intervalo. La segunda derivada es obviamente una derivada, entonces si está definida en algún intervalo incluyendo el punto de inflexión, si miramos un valor a un lado del punto de inflexión, que debe ser positivo, y otro valor al otro lado, que debe ser negativo, hay algún lugar donde la segunda derivada es cero. El único lugar donde puede ser cero es en el punto de inflexión. Por lo tanto, se dice comúnmente que la segunda derivada en el punto de inflexión debe ser cero.
Sin embargo, hay una posibilidad más. La segunda derivada puede no estar definida en el punto de inflexión. Esto no cumple con las suposiciones del Teorema del Valor Intermedio, por lo que no hay problema.
Un ejemplo donde la segunda derivada no está definida en un punto de inflexión es $y=\sqrt[3] x$, donde hay un punto de inflexión en $x=0$ pero las primeras y segundas derivadas no están definidas allí. Puedes ver que la curva es cóncava hacia arriba a la izquierda y cóncava hacia abajo a la derecha.
Donkey Kong
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Por definición, los puntos de inflexión son donde una función cambia de concavidad, o en otras palabras donde una función no es ni cóncava hacia arriba ni hacia abajo, sino que está (a menudo) moviéndose de una a la otra. Una segunda derivada positiva corresponde a una función cóncava hacia arriba, y una negativa corresponde a cóncava hacia abajo, por lo que tiene sentido que sea cuando la segunda derivada es 0 que nuestra función está cambiando de concavidad, y por lo tanto corresponde a un punto de inflexión.
Tal vez esta imagen te pueda dar una idea visual de cuándo puedes ver el cambio de concavidad, y un punto de inflexión correspondiente. También es importante tener en cuenta (como ya lo han hecho varias respuestas) que un punto de inflexión también puede tener una segunda derivada indefinida.
mathers101
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Piensa en lo que significa la segunda derivada. Una segunda derivada positiva significa cóncava hacia arriba, negativa significa cóncava hacia abajo. Bueno, un punto de inflexión es cuando la concavidad cambia. Por lo tanto, naturalmente la segunda derivada tiene que ser igual a cero en algún punto si nuestra segunda derivada va a cambiar de signo.
Es muy análogo a un valor crítico.
Amy B
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Un punto de inflexión es el punto donde la concavidad cambia.
En el punto de inflexión, la curva puede pasar de cóncava hacia abajo (con una pendiente decreciente) hacia cóncava hacia arriba (con una pendiente creciente). Una pendiente decreciente te dará una derivada decreciente y una segunda derivada negativa. Una pendiente creciente te dará una derivada creciente y una segunda derivada positiva. En el punto de inflexión, la segunda derivada cambia de negativa a positiva, y debe ser cero.
Si en el punto de inflexión, la curva pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, entonces, por el mismo argumento, la segunda derivada cambiará de positiva a negativa y debe ser cero.
Narasimham
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¿Por qué la primera derivada de un extremo es cero?
La razón es la misma para la segunda derivada en el punto de inflexión también... porque... la pendiente se extremiza en el PI.
La primera derivada en un punto de inflexión localmente es ya sea un máximo o un mínimo.
La segunda derivada en un punto de inflexión se anula.
Un punto de inflexión está asociado con una raíz compleja en su vecindario.
Un punto de inflexión ocurre en el perfil medio de tipo M o tipo W, dos puntos de inflexión ocurren en perfiles completos de tipo M o tipo W.
Los dos últimos son las formas en las que veo un punto de inflexión, mencionados incluso si no es directamente una respuesta a la pregunta original, para una perspectiva más amplia. Por favor comenta
Gráfico de $ \sin(p\,x) / p + \sin(q\, x) / q = 0, (q = 2.112, p = 0.687)$ con las primeras y segundas derivadas de la función.
