Producto Tensor álgebras de Lie

Question

¿Cómo puedo demostrar que $\mathfrak{so}(3, \mathbb{R}) \otimes \mathbb{C} \simeq \mathfrak{sl}(2)$?

Hay una manera de que no se trata de sistemas de raíces?

Answer 1

Un enfoque es el uso de generadores y relaciones. Los generadores de $\mathfrak{sl}_2$ se dan por $e,f,h$ sujeto a las relaciones de los $[e,f]=h, [h,e]=2e$ e $[h,f]=-2f$. Para $\mathfrak{so}_3$, usted puede tomar una base de antisimétrica matrices con $A=E_{1,2}-E_{2,1}$, $B=E_{1,3}-E_{3,1}$ y $C=E_{2,3}-E_{3,2}$. Las relaciones son $[A,B]=-C$, $[B,C]=-A$ y $[A,C]=B$. Nos gustaría ver que estos dos álgebras de Lie son isomorfos a complejización. Set $e=B+iA, f=B-iA$ e $h=2iC$, y comprobar que los tres $\mathfrak{sl}_2$ relaciones están satisfechos. (He encontrado esta transformación por jugar con diferentes combinaciones de $A$ e $B$.)