Determine si $G$ es un grupo bajo la $\,\gcd\,$ operación

Question

Sea $G = [1,2,3,4,6,12].\;$ Sea $\,a*b = \gcd(a,b), a,b \in G.\;$ Determinar si $G$ es un grupo.

He comprobado que para dos elementos cualesquiera de $G$ se mantiene la conmutatividad, pero los inversos no son únicos para algunos elementos, es decir. $\gcd(3,4) = \gcd(3,2) = 1$ y la identidad no es única, por ejemplo, $\gcd(2,2) = 2$ pero $\gcd(3,3) = 3$ .

Así que $G$ claramente no es un grupo, ¿es correcta mi lógica?

Answer 1

Sí... el fracaso de cualquiera de los axiomas de grupo es razón suficiente para concluir $G$ no es un grupo.

Pero creo que merece la pena el tiempo y el esfuerzo que dedicas a explorar todas las formas en las que no consigue ser un grupo.

Nota: el único elemento que podría ser la identidad tal que $ge = eg = g$ para todos $g \in G$ es el elemento $\;e=12:\; \gcd(g, 12) = \gcd(12, g) = g$ para todos $g \in G$ y sabiendo eso, puedes demostrar que para todos $\,g\in G g\neq 12$ no existe ningún $g^{-1} \in G$ .

Answer 2

A raíz de los comentarios anteriores, es conveniente comprobar cada uno de los axiomas de grupo

1. Es bastante sencillo comprobar que se mantiene la asociatividad.
2. Contrariamente a los comentarios anteriores, usted debe ser capaz de encontrar un elemento que es la identidad.
3. Una vez que haya averiguado cuál es este elemento de identidad, entonces ( y sólo entonces ) están en condiciones de demostrar que no existen elementos inversos).

Answer 3

Con lo que apuntó @amWhy es suficiente y no sé si estás conectado para ver mi post o no. Otros puntos que puedo añadir:

Su estructura está cerrada bajo la operación dada y de hecho debido a la naturaleza de la operación gcd tenemos a*b=b*a :

gcd(1,1)=1   gcd(1,2)=1   gcd(1,3)=1   gcd(1,4)=1   gcd(1,6)=1   gcd(1,12)=1   

gcd(2,2)=2   gcd(2,3)=1   gcd(2,4)=2   gcd(2,6)=2   gcd(2,12)=2

gcd(3,3)=3   gcd(3,4)=1   gcd(3,6)=3   gcd(3,12)=3

gcd(4,4)=4   gcd(4,6)=2   gcd(4,12)=4

gcd(6,6)=6   gcd(6,12)=6

gcd(12,12)=12

Y podemos comprobar fácilmente que $(G,*)$ es una estructura asociativa por lo que es una estructura finita semigrupo en esta operación. Tiene más sobre $G$ es decir $G$ es un regular semigrupo. En efecto, para cada elemento $a\in G$ el conjunto de elementos $x\in G$ en el que $a*x*a=a$ de no está vacía y de hecho la tenemos: $$a\in\{x\in G\mid \gcd\left(\gcd(a,x),a\right)=a\}.$$