Deje $a_n$ ser una secuencia, $S_n=\sum_{k=1}^n a_k$.
(1) Si $S_n$ es acotado, $\lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=0$, mostrar $\lim_{n\to\infty}a_n=0$.
(2). Si $\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n}=0$, $\lim_{n\to\infty} (a_{n+1}-a_n)=0$, podemos demostrar a $\lim_{n\to\infty}a_n=0$? Demostrar que si es cierto, o dar un contraejemplo.
En el primer problema, he tratado de Cauchy criterios, argumentando por la contradicción...Pero no hay solución.
En el segundo, he intentado $a_n=\ln n$, pero...
Supongamos que $a_{n+1}-a_n \to 0$, pero el $a_n$ no convergen a $0$. Hay un $\epsilon > 0$ e infinitamente muchos de los valores de $n$ tal que $|a_n|>\epsilon$. Supongamos que hay una infinidad de $n$ tal que $a_n > \epsilon$ (el caso contrario, que $a_n < -\epsilon$ infinitamente a menudo, es similar). Deje $k$ ser un entero positivo. Deje $N$ ser un valor tal que (1) $a_N>\epsilon$, y (2) para $n \geq N$, $|a_{n+1}-a_n| < \epsilon/k$ (de relleno en detalle: ¿cómo sabes que ese $N$ existe?). Para $N \leq n \leq N+k$ hemos $$ a_n \geq \epsilon-(n-N)\frac{\epsilon}{k} = \epsilon \frac{k+N-n}{k}. $$ Ahora considere la posibilidad de $$ S_{N+k}-S_N = a_{N+1}+a_{N+2}+\dotsb+a_{N+k}, $$ y aplicar el límite inferior. Usted puede mostrar (rellene todos los datos aquí) que $S_{N+k}-S_N$ es ilimitado, por lo tanto el $S_n$s son sin límites.
Por Stolz-Cesaro,
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = 0,$$
y si $a_n \to a$,
$$\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n} = \lim_{n \to \infty}a_n = a $$
En consecuencia, para encontrar un contraejemplo para la parte (2) necesitamos una secuencia donde $\lim_{n \to \infty}a_n$ no existe y $|a_n|$ no crece más rápido que el de $n$.
Un adecuado contraejemplo es $a_n = \sin \sqrt{n}$.
El límite no existe, ya que la larga $a_{n^2} = \sin n$ es fácilmente demostrado que no convergen. También tenemos $$|\sin \sqrt{n+1} - \sin \sqrt{n}| \leqslant \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \to 0,$$
así como,
$$\tag{*}\sum_{k=1}^n \sin \sqrt{k} = O(\sqrt{n}),$$
de dónde,
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \sin \sqrt{k} = 0$$
El resultado (*) puede ser demostrado mediante la comparación de la suma con $\int_1^n \sin \sqrt{x} \, dx = O(\sqrt{n})$.
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