¿Cuántas matrices ortogonales hay?

Question

esto puede sonar como una pregunta estúpida, pero lo que quiero decir es que necesitas $n \times n$ elementos para definir una matriz cuadrada $\in R^{n \times n}$ . ¿Cuántos elementos necesito para definir una matriz ortogonal? Tengo la sensación de que debería ser $n$ o $2n$ pero no puedo encontrar una formulación matemática limpia para ello.

Gracias.

Answer 1

contemos el número de restricciones:

(a) para que la primera columna sea ortogonal al resto $n-1$ columnas, necesita $n-1$ limitaciones. todos juntos se necesita $(n-1)+(n-2) + \cdots + 2 + 1=\frac12 n(n-1).$

b) hacer que todas las columnas tengan una longitud $1,$ se necesita $n$ limitaciones.

por lo tanto, para hacer una $n \times n$ matriz ortonormal, tendrá $$n^2 -\frac12n(n-1) - n=\frac{n(n-1)}{2}$$ parámetros libres. por ejemplo, sólo tiene una variable libre para hacer un $2 \times 2$ matriz ortogonal. para $n = 3,$ es $3$ variables libres.

para una matriz ortogonal, no es necesario que las columnas tengan una longitud de uno. así que habrá $$\frac{n(n+1)}2$$ variables libres.

Answer 2

No es muy difícil demostrar que el espacio $O(n, \Bbb F)$ de $n \times n$ matrices ortogonales sobre el campo $\Bbb F$ (que tomamos como $\Bbb R$ o $\Bbb C$ ) es un $\frac{1}{2}n (n - 1)$ -lo que significa, en particular, que para cualquier matriz ortogonal $A \in O(n)$ existe un homeomorfismo local entre alguna vecindad abierta de $A$ y $\Bbb R^{\frac{1}{2} n (n - 1)}$ . (Aquí, la topología en $O(n, \Bbb F)$ es sólo la topología del subespacio respecto a un subconjunto del espacio $M(n, \Bbb F)$ de $n \times n$ matrices sobre $\Bbb F$ que identificamos con el espacio euclidiano/complejo $\Bbb F^{n^2}$ de forma obvia). Informalmente, esto sólo significa que localmente $\frac{1}{2} n (n - 1)$ coordenadas es suficiente para especificar una matriz ortogonal particular, y así podríamos esperar que genéricamente $\frac{1}{2} n (n - 1)$ entradas es suficiente, al menos hasta alguna(s) opción(es) discreta(s).

Esta cifra es sugerente (más aún si se realiza el cálculo anterior): Un $n \times n$ matriz tiene precisamente $\frac{1}{2} n (n - 1)$ entradas estrictamente triangulares superiores, es decir, entradas $a_{ij}$ con $i < j$ . Supongamos que las hemos especificado; entonces, podemos utilizar (inductivamente) el hecho de que una matriz es ortogonal si sus columnas son ortonormales para intentar construir una matriz ortogonal con esas entradas. Por comodidad, denotamos la matriz $i$ columna de $A$ por ${\bf a}_i$ .

La única entrada no especificada en la última columna, ${\bf a}_n$ es $a_{nn}$ , pero podemos recuperar esta entrada -hasta el signo- utilizando eso, por ortonormalidad, ${\bf a}_n \cdot {\bf a}_n = 1$ La reordenación da como resultado que

$$a_{nn}^2 = 1 - \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{in}^2.$$

(Podemos ver en el caso real que las entradas especificadas deben satisfacer $\sum_{i = 1}^{n - 1} a_{in}^2 \leq 1$ .)

A continuación, todas las entradas de la penúltima columna, ${\bf a}_{n - 1}$ se dan excepto en el caso de $a_{n - 1, n - 1}$ y $a_{n, n - 1}$ y estos están determinados hasta el signo por el hecho de que, de nuevo, debemos tener ${\bf a}_{n - 1, n - 1} \cdot {\bf a}_{n - 1, n - 1} = 1,$ y también la condición de ortogonalidad ${\bf a}_{n - 1, n - 1} \cdot {\bf a}_{nn} = 0.$ En coordenadas, estas condiciones pueden escribirse como el sistema $$\sum_{i = 1}^n a_{i, n - 1} a_{i j} = 1, \quad j \in \{n - 1, n\};$$ esto determina una condición cuadrática y otra lineal sobre las dos incógnitas y de nuevo las determina hasta un signo. Podemos entonces proceder hacia la izquierda, determinando cada una de las columnas restantes.

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Ejemplo Es instructivo realizar este procedimiento para $n = 2$ (nos ceñiremos al caso real para recuperar algo familiar): En este caso, sólo hay una entrada estrictamente triangular superior, a saber, $a_{12}$ . Por lo anterior debe satisfacer $a_{12}^2 \leq 1$ Es decir, $-1 \leq a_{12} \leq 1$ por lo que podemos escribir $a_{12} = -\sin \theta$ para algunos $\theta$ . Ahora, la condición de ortogonalidad nos da que el $(2, 2)$ La entrada satisface $$1 = a_{12}^2 + a_{22}^2 = \sin^2 \theta + a_{22}^2,$$ y así por la Identidad Pitagórica tenemos $a_{22} = \pm \cos \theta$ . Al sustituir $\theta$ con $\pi - \theta$ (que no cambia el valor de $-\sin \theta$ ) si es necesario, podemos suponer $a_{22} = \cos \theta$ .

Ahora, por ortogonalidad las entradas de la primera columna satisfacen $$0 = {\bf a}_1 \cdot {\bf a}_2 = a_{11} a_{12} + a_{21} a_{22} = -a_{11} \sin \theta + a_{21} \cos \theta.$$ Esto define una ecuación lineal en $a_{11}, a_{21}$ y por lo tanto concluimos que debemos tener $a_{11} = t \cos \theta$ y $a_{21} = t \sin \theta$ para algunos $t$ . Ahora, la condición de normalidad da $$1 = {\bf a}_1 \cdot {\bf a}_1 = (t \cos \theta)^2 + (t \sin \theta)^2 = t^2,$$ y por lo tanto $t = \pm 1$ .

Si juntamos todo esto, obtenemos una parametrización de todo $2 \times 2$ matrices ortogonales reales: $$\begin{pmatrix} \pm \cos \theta & -\sin \theta \\ \pm \sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix}.$$ El determinante de dicha matriz es $\pm 1$ , por lo que una elección de $+$ para las entradas de la primera columna da una rotación (una matriz ortogonal especial), y una elección de $-$ da una reflexión.

Nota: Esta pregunta tiene la complicación de que la respuesta puede depender de las propias entradas: Por ejemplo, si se especifica que una determinada $n \times n$ la matriz ortogonal real tiene entradas diagonales $1, \ldots 1$ por ortogonalidad todas las demás entradas son cero, a pesar de que sólo habíamos especificado $n$ entradas. Desde este punto de vista, la respuesta $\frac{1}{2} n (n - 1)$ es sólo el número necesario para una matriz ortogonal genérica.