Encuentra el valor de la ecuación sin solución de una ecuación cuadrática

Question

¿Cómo puedo resolver este problema: Si $α$ e $β$ son las raíces de $x^2+2x-3=0$, sin resolver la ecuación, hallar los valores de $α^6 +β^6$.

En mis pensamientos: he comenzado por la expansión de $(α +β)^6$, tal que:

$$(α +β)^6 =α^6+6α^5β+15α^4β^2+20α^3β^3+15α^2β^4+6αβ^5+β^6$ $ , que cuando me reorganizar:

$$(α +β)^6 =(α^6+β^6)+6α^5β+15α^4β^2+20α^3β^3+15α^2β^4+6αβ^5$$

cuando me aislar $(α^6+β^6)$ por un lado:

$$(α^6+β^6) = (α +β)^6-6α^5β-15α^4β^2-20α^3β^3-15α^2β^4-6αβ^5$$

¿de dónde viene todo este fin para mí para conseguir una solución?

Answer 1

SUGERENCIA:

$$a^6+b^6=(a^3)^2+(b^3)^2=(a^3+b^3)^2-2(ab)^3\text{ and } a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$$

o

$$a^6+b^6=(a^2)^3+(b^2)^3=(a^2+b^2)^3-3(ab)^2(a^2+b^2) \text{ and } a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$

Answer 2

Este ejercicio podría ser destinado a hacer que te das cuenta de que cada polinomio simétrico en $(\alpha,\beta)$, coincidiendo con un (universal) polinomio en $(s,t)=(\alpha+\beta,\alpha\beta)$. Por ejemplo, usted puede ya ser conscientes de que $$ \alpha^2+\beta^2=s^2-2t. $$ Asimismo, $$ \alpha^6+\beta^6=s^6-6s^4t+9s^2t^2-2t^3. $$ Uno puede comprobar que el polinomio en el lado derecho es homogénea de grado $6$ siempre y cuando uno considera que el grado de $s$ es $1$ y el grado de $t$ es $2$.

En el caso que nos ocupa, $s=-2$ e $t=-3$ por lo tanto $$ \alpha^6+\beta^6=2^6+6\cdot2^4\cdot3+9\cdot2^2\cdot3^2+2\cdot3^3=730. $$

Más generalmente, se puede obtener la expansión de la $p_n=\alpha^n+\beta^n$ para cada entero $n\geqslant0$ recursivamente, a partir de $p_0=2$ e $p_1=s$, y el uso de la relación $$ p_{n+2}=sp_{n+1}-tp_n. $$ Por último, tenga en cuenta que, al $\alpha\beta\ne0$, también se puede obtener el valor de $p_n$ para valores negativos de $n$, utilizando la identidad $$ p_{-n}=e^{-n}p_n. $$

Answer 3

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}% \newcommand{\yy}{\Longleftrightarrow}$ $\alpha\beta = -3\,,\quad \alpha + \beta = -2.\quad$ Deje $\alpha > 0$ y $\beta < 0.\quad$ A continuación, $\alpha\verts{\beta} = 3$ y $\verts{\beta} - \alpha= 2.\quad$ Deje $\alpha = 2\sinh^{2}\pars{\theta}.\quad$ $\verts{\beta} = 2\cosh^{2}\pars{\theta}$: $$ 3 = \bracks{2\sinh^{2}\pars{\theta}}\bracks{2\cosh^{2}\pars{\theta}} = \sinh^{2}\pars{2\theta}\quad\imp\quad\theta = \mitad{\rm arcsinh}\pars{\raíz{3}} $$