Errores de transformación C, T, P en la QFT de ``Peskin&Schroeder''?

Question

Supongo que la forma correcta de hacer la transformación C (carga), T (inversión del tiempo), P(paridad) en el estado $\hat{O}| v \rangle$ con operadores $\hat{O}$ es eso:

$$ C(\hat{O}| v \rangle)=(C\hat{O}C^{-1})(C| v \rangle)\\ P(\hat{O}| v \rangle)=(P\hat{O}P^{-1})(P| v \rangle)\\ T(\hat{O}| v \rangle)=(T\hat{O}T^{-1})(T| v \rangle) $$

Así, para entender cómo un operador $\hat{O}$ transformaciones bajo C,P,T, nos importa la siguiente forma $$ \hat{O} \to (C\hat{O}C^{-1})\\ \hat{O} \to (P\hat{O}P^{-1})\\ \hat{O} \to (T\hat{O}T^{-1}) $$

Aquí $\hat{O}=\hat{O}(\hat{\Phi},\hat{\Psi},a,a^\dagger)$ contiene posibles operadores de campo ( $\hat{\Phi},\hat{\Psi}$ ), o $a,a^\dagger$ etc.

Para entender cómo un estado $|v \rangle$ transformaciones, nos preocupamos por $$ | v \rangle\to C| v \rangle\\ | v \rangle \to P| v \rangle\\ | v \rangle\to T| v \rangle $$

Sin embargo, en el libro de QFT de Peskin y Schroeder, a lo largo del capítulo 3, la transformación se realiza sobre el campo del fermión $\hat{\Psi}$ (operador en la QFT) : \begin{align} \hat{\Psi} &\to (C\hat{\Psi}C)? \tag{Eq.3.145}\\ \hat{\Psi} &\to (P\hat{\Psi}P)? \tag{Eq.3.128}\\ \hat{\Psi} &\to (T\hat{\Psi}T)? \tag{Eq.3.139} \end{align}

Supongo que hay que tomar un lado como operador inverso ( $(C\hat{\Psi}C^{-1}),(P\hat{\Psi}P^{-1}),(T\hat{\Psi}T^{-1})$ ). Lo que se ha escrito en el capítulo 3 de la QFT de Peskin y Schroeder es incorrecto, especialmente porque $T \neq T^{-1}$ y $T^2 \neq 1$ en general. ( $T^2=-1$ para el fermión de espín 1/2)

¿Estoy en lo cierto?(P&S incorrecto aquí) ¿O estoy equivocado en este punto? (¿Por qué es correcto? Supongo que S. Weinberg y M. Srednicki y A Zee utilizan la forma que he descrito).

Answer 1

Creo que es una cuestión de elección. Si se revisan varios libros se verá toda la combinación posible $C\Psi(x)C$ , $C\Psi(x)C^{-1}$ , $C\Psi(x)C^{\dagger}$ (y lo mismo para $P$ y $T$ ). Creo que todo se reduce a la representación que se utiliza. Como se dice en el libro de Sterman (página 524) : "La naturaleza precisa de $T$ depende de la representación, pero en la representación de Dirac, Weyl o cualquier otra donde sólo $\gamma_2$ es imaginaria, la elección $T=T^{-1}=i\gamma^{1}\gamma^{3}=T^{\dagger}$ servidores nuestro propósito". Con la paridad y la conjugación de cargas es lo mismo, al ser operadores unitarios. Sea cual sea la representación que utilices, el resultado final debería ser el mismo. Así que ni tú ni P&S estáis equivocados.

Answer 2

Generalmente bajo transformación de simetría $S$ , $$ O \to S O S^{-1} $$ si $S O S^{-1}=O$ entonces $O$ es invariante bajo la transformación de simetría $S$ , así que $S$ se desplaza con $O$ : $$ [S,O]=0 $$

Esto es correcto, como usted ha dicho. $$ C(\hat{O}| v \rangle)=(C\hat{O}C^{-1})(C| v \rangle)\\ P(\hat{O}| v \rangle)=(P\hat{O}P^{-1})(P| v \rangle)\\ T(\hat{O}| v \rangle)=(T\hat{O}T^{-1})(T| v \rangle) $$

P&S se equivoca ahí (sustituyendo un lado por el operador inverso). Pero el resultado de la transformación debería seguir siendo correcto.